Bonjour
Tu as un corrigé, certes assez succinct, de cette épreuve ici :

oui mais je ne sais  pas comment ils ont fait pour tracer l'allure , dans le corrigé ils ont dit que la fonction est monotone alors que ce n'est pas toujours le cas

La courbe présente une asymptote verticale d'abscisse Zm mais le problème n'a de sens physique que pour : 0>Z>Zm.
C'est vrai que le corrigé est assez mal présenté et un peu ambigu. À ce que je comprends car je n'ai pas pris le temps de faire le problème en entier, il faut distinguer deux cas :
- un premier qui correspond à la courbe bleue et à une fonction monotone croissante ;
- un second qui correspond à la courbe rouge.
Il faut lire :

Si , alors et : monotone...

oui mais si théta prime est supérieur à 0 en 0 ça ne veut pas dire directement qu'elle est monotone ? je dois faire d'autre calcul pour aboutir à ce résultat non ?

En toute rigueur oui : il faudrait montrer que la dérivée'_i est positive pour T<Tm .  Déjà on demande d'admettre le résultat pour la dérivée en Z=0 ; le concepteur de l'énoncé ne peut logiquement demander le calcul de cette dérivée dans le cas général. Il y a donc un manque de rigueur dans cet énoncé comme cela arrive parfois hélas. Il aurait été plus astucieux de fournir les allures de la courbe dans les deux cas puis de poser des questions sur les implications physiques de ces courbes...