Niveau licence

Thermodynamique: Détente Brusque d'un gaz

Posté par
v3x0 05-01-18 à 02:19

Bonjour à tous!
Je révise la thermodynamique, et je tombe sur un exercice (corrigé), mais ou la correction m'intrigue légèrement.

Voici l'énoncé:

De l'air, considéré comme un gaz parfait de rapport γ constant (γ = 1,4) et de masse molaire M = 29 g , est enfermé dans un cylindre muni d'un piston mobile circulaire,de rayon a=2cm et de masse m.On note X(t) l'abscisse du piston à la date t , l'origine étant prise au fond du cylindre.
Le milieu extérieur est caractérisé par sa pression P0 = 1 bar et sa température T0 = 300 K , constantes. Le cylindre et le piston sont fabriqués avec un matériau de masse volumique r=2,5.103kg.m-3 et de capacité thermique volumique c=1,0.103J.kg-1.K-1.
L'état initial est défini par : Pression du gaz : P1 = 4P0 , température de l'ensemble : T0 ; X = X1 = 20 cm . On libère le piston, le gaz se détend jusqu'à ce que le piston s'arrête brutalement sur une butée. Le volume occupé par le gaz est alors déterminé par :
X = X2 = 2 X1 .
Nous admettons que, pendant la détente, on peut consi- dérer que la pression et la température du gaz sont défi- nis à chaque instant et uniformes si sa durée τ0 , X et la vitesse de propagation des ondes sonores
$c_{son}t_0 >> X$

1 • On suppose que le gaz est homogène et que la vitesse (au sens macroscopique) du gaz situé à l'abscisse x
x.
est une fonction linéaire de x $v(x,t)=\frac{x}{X(t)}\dot{X}(t)$
.
Exprimer l'énergie cinétique (macroscopique) d E_K de la tranche de gaz comprise entre les abscisses x et x + dx .
En déduire l'énergie cinétique totale du gaz E_Kgaz(t) en fonction de la masse de gaz mgaz et de X(t) .

Voici le corrigé:

1 • Le gaz étant homogène, la tranche dx de gaz a une masse: $dm=m_{gaz}\frac{dx}{X(t)}$ et une énergie cinétique $d\mathcal{E}_K=\frac{1}{2}m_{gaz}v^2(x,t)$

On en déduit: $d\mathcal{E}_K=\frac{1}{2}m_{gaz}\frac{xdx}{X^2}\dot{X}^2$

La réponse finale donnée, après quelque calcul, est :

$\mathcal{E}_{Kgaz}= \frac{1}{4}m_{gaz}\dot{X}^2$

Voila où je bloque:

Si on a: $dm=m_{gaz}\frac{dx}{X(t)}$ alors en injectant dans $d\mathcal{E}_K=\frac{1}{2}m_{gaz}v^2(x,t)$ ,

on trouve que $d\mathcal{E}_K= \frac{1}{2}m_{gaz}\frac{x^2dx}{X^3}\dot{X}^2$

et en intégrant entre 0 et X, je trouve: $\mathcal{E}_{Kgaz}=\frac{1}{6} m_{gaz}\dot{X}^2$

Quelqu'un pourrait-il me donner mon erreur?

PS: j'ai remarqué que si on considéré que: $dm=\frac{dx}{x}m_{gaz}$ , je retrouvé le même résultat que dans la correction.

Merci d'avance.

Posté par re : Thermodynamique: Détente Brusque d'un gaz 05-01-18 à 12:09

Bonjour
Tu pourrais détailler la correction qui conduit au coefficient (1/4) plutôt que (1/6) ?

Posté par re : Thermodynamique: Détente Brusque d'un gaz 05-01-18 à 13:52

Pas de problème:

Le gaz étant homogène, la tranche dx de gaz a une masse $dm=m_{gaz}\frac{dx}{X(t)}$ et une énergie cinétique $d\mathcal{E}_K=\frac{1}{2}dmv^2(x,t)$

On en déduit : $d\mathcal{E}_K=\frac{1}{2}m_{gaz}\frac{xdx}{X^2}\dot{X}^2$ et $\mathcal{E}_K=m_{gaz}\frac{\dot{X}^2}{2X^2}\int_{x=0}^{x}{xdx}$ d'où:

$\mathcal{E}_{Kgaz} = \frac{1}{4}m_{gaz}\dot{X}^2$

Voila ce qu'il propose. De mon côté, je suis presque sur qu'ils se sont trompé en remplaçant dm, mais j'aimerai confirmation. Bonne journée.