Niveau licence

Thermodynamique d'un cristal

Posté par
LordOfLambs 26-04-18 à 15:50

Bonjour à tous,
je bloque sur le problème suivant :

On considère un cristal de volume $V$ , à la température $T$ . Son énergie libre est constituée de deux thermes, l'un $F_{0}$ indépendant de $T$ , l'autre $F_{1}$ associée aux vibrations des atomes constituant le réseau cristallin autour de leur position d'équilibre :

$F(V,T)=F_{0}(V)+F_{1}(V,T)$ avec $F(V,T=0)=0$

Dans un modèle développé par Debye, on établit que le terme $F_{1}$ est de la forme

$F_{1}(V,T)=Tf\left ( \frac{\theta }{T}\right )$

où $\theta$ appelée température de Debye ne dépend que du volume du cristal.

1. Etablir la relation générale

$U=-T^{2}\left ( \frac{\partial \left ( \frac{F}{T} \right )}{\partial T } \right )_{V}$

On partira de la différentielle de l'entropie $S$ (on suppose $N$ constant) puis on calculera la différentielle $d\left ( \frac{U}{T} -S \right )=d\left ( \frac{F}{T} \right )$

Je retrouve bien $d\left ( \frac{U}{T} -S \right )=d\left ( \frac{F}{T} \right )$ en partant de la formule de l'énergie libre $F=U-TS$
ainsi que $dS = \frac{1}{T}dU+\frac{p}{T}dV$

$d\left ( \frac{U}{T} -S \right )= \frac{1}{T}dU -\frac{U}{T^{2}}dT -dS$

$d\left ( \frac{U}{T} -S \right )= \frac{p}{T}dV -\frac{U}{T^{2}}dT$

et
$d\left ( \frac{F}{T} \right ) = \frac{1}{T}dF-\frac{F}{T^{2}}dT$

donc
$\frac{p}{T}dV -\frac{U}{T^{2}}dT = \frac{1}{T}dF-\frac{F}{T^{2}}dT$

ce qui semble donner :

$U=-T\left ( \frac{\partial F }{\partial T } \right )_{V}+F$

quel est le problème ???
merci d'avance

Posté par re : Thermodynamique d'un cristal 26-04-18 à 15:54

Ok faut pas ce compliquer la vie en fait

$d\left ( \frac{F}{T} \right )=\frac{p}{T}dV -\frac{U}{T^{2}}dT$

et on retrouve bien :

$U=-T^{2}\left ( \frac{\partial \left ( \frac{F}{T} \right )}{\partial T } \right )_{V}$

Posté par re : Thermodynamique d'un cristal 26-04-18 à 18:32

Bonjour
Résultat immédiat si on connaît la troisième identité thermodynamique :

$dF=-P.dV-S.dT\quad donc\quad-S=\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V}$
On réinjecte dans l'expression de définition de F, on divise par T² et le tour est joué :

$F=U-T.S=U+T\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V}$

$-\frac{U}{T^{2}}=\frac{1}{T}\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V}-\frac{F}{T^{2}}=\left(\frac{\partial\left(\frac{F}{T}\right)}{\partial T}\right)_{V}$

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