Niveau école ingénieur

Tenseur d'inertie, moment d'inertie.

Posté par
MSEPF 28-12-12 à 12:36

Bonjour.

Quelqu'un pourrait m'expliquer la différence entre le moment d'inertie et le tenseur d'inertie dans un solide indéformable ?

Merci beaucoup.

Posté par re : Tenseur d'inertie, moment d'inertie. 28-12-12 à 14:00

Considère un repère $R=(Oxyz)$ , pour repérer ton solide de volume $V$ et de masse volumique $\rho$ .

On définit les moments d'inertie par rapport aux axes $x$ , $y$ et $z$ par :

$\boxed{\large J_x=I_{xx}=\iiint_V\rho(y^2+z^2)\mathrm{dV}}$

$\boxed{\large J_y=I_{yy}=\iiint_V\rho(x^2+z^2)\mathrm{dV}}$

$\boxed{\large J_z=I_{zz}=\iiint_V\rho(x^2+y^2)\mathrm{dV}}$

On définit de même les produits d'inertie :

$\boxed{\large I_{xy}=I_{yx}=\iiint_V\rho xy\mathrm{d}V}$

$\boxed{\large I_{yz}=I_{zy}=\iiint_V\rho yz\mathrm{d}V}$

$\boxed{\large I_{xz}=I_{zx}=\iiint_V\rho xz\mathrm{d}V}$

Le tenseur d'inertie est la matrice symétrique d'ordre 3 :

$\boxed{\large I=\begin{pmatrix} \\ {\red I_{xx}}&-I_{xy}&-I_{xz} \\ \\ -I_{yx}&{\red I_{yy}}&-I_{yz} \\ \\ -I_{zx}&-I_{zy}&{\red I_{zz}} \\ \end{pmatrix}\in\mathcal{S}_3(\mathbb{R})}$

Posté par re : Tenseur d'inertie, moment d'inertie. 28-12-12 à 14:08

Pour t'entraîner, je te propose de calculer le tenseur d'inertie d'un disque, où tu auras choisi pour axes :

$Tenseur d\'inertie, moment d\'inertie.$

(disque de rayon R contenu dans le plan xOy avec l'axe de rotation du disque = axe z)

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