Bonjour
Si je comprends bien, le champ de température est à symétrie sphérique ; il faut donc faire intervenir non pas la dérivée seconde de T par rapport à x comme dans un propagation linéaire unidimensionnelle mais le Laplacien de T en coordonnées sphériques. Ce n'est pas très compliqué car T ne va dépendre que du temps t et de r, la distance au centre de la cavité.
Le conducteur thermique occupe l'espace entre les sphères de rayon R1 et R2.
L'espace r<R1 est assimilée si je comprends bien à une source de chaleur fournissant une puissance thermique constante. Appliquer la loi de Fourier en r=R1 devrait permettre d'obtenir une relation entre la densité de flux thermique, la conductivité thermique et la dérivée en r=R1 de T par rapport à r.

Qu'en est-il de l'espace r>R2 ? Présence d'un gaz ? Phénomène de convection ? de rayonnement ?

merci, donc ça veut dire que dans l'équation de la chaleur je remplace la dérivée partielle seconde par ça ? https://fr.wikipedia.org/wiki/Opérateur_laplacien#Coordonnées_sphériques_(dimension_3)

Qu'est-ce qui s'annule dans l'expression de la page Wiki ?

Est-ce qu'il suffit d'écrire cela ?

?

C'est bien cela.

Merci. Mais faut-il ajouter un terme source ?

Et il est dit dans l'énoncé "conditions aux limites et conditions initiales" : que faut-il écrire ?

Parce que si je connaissais la puissance volumique p_th, je sais qu'il faudrait écrire :



Mais là, je n'ai pas la puissance volumique, j'ai la densité de flux thermique , donc je suis embêtée, je ne sais pas comment modifier en conséquence... Quoi faire ?

Selon moi, sous réserve que je comprenne bien le problème dont tu as fourni un énoncé plus que succinct, il n'y a pas de source entre R1 et R2. La source intervient indirectement à travers la condition limite en r=R1.
Concernant la limite en r=R1, tu peux appliquer la loi de Fourier dont l'expression générale est :

avec : :  conductivité du solide. Avec tes notations et en projetant sur un axe dirigé par un vecteur radial unitaire orienté vers l'extérieur :



valeur qui ne dépend pas du temps.

En revanche, n'ayant pas de précision sur le milieu en r>R2, je ne vois pas quelle condition aux limites écrire en r=R2.

Sinon : à t=0 :

Mes excuses, voici le sujet en entier :

Le stockage en couche géologique profonde est un mode de gestion des déchets radioactifs envisagé dans plusieurs pays pour les déchets de haute et moyenne activité à vie longue. Il consiste à conditionner des déchets puis à les placer dans une formation géologique stable en interposant des barrières naturelles et artificielles (barrière ouvragée en bentonite, colis de déchets, colis de stockage) entre les déchets et l'environnement. Ce mode de gestion repose sur la rétention des déchets pendant une durée suffisante pour assurer leur décroissance radioactive. Nous cherchons ici à calculer l'impact
du terme source radioactif sur la variation de température au sein du massif géologique.
De manière simplifiée, le fonctionnement d'un site de stockage peut être modélisé par une cavité sphérique (de rayon R1) présentant un terme source de production de chaleur entourée par un milieu infini (sphère creuse de rayon R2 infini).

Le problème sera décomposé en deux parties qui peuvent être résolues de manière indépendantes.

Partie 1 : Calcul du flux thermique émis par le colis de déchets Le colis de déchets est modélisé par une cavité sphérique de rayon R1, de conductivité thermique λ et présentant un terme source interne volumique de chaleur q (dû à la radioactivité des déchets) supposé constant. Dans cette partie, la température est supposée constante en surface et égale à T0, la température initiale du massif rocheux (l'impact de la variation de température du massif rocheux sur le calcul du flux thermique émis par le colis de déchets est supposé négligeable).
1- Écrire l'équation qui caractérise l'évolution de la température dans la cavité en régime stationnaire.
2- Calculez la distribution de température au sein de la sphère.
3- En déduire l'expression du flux de chaleur en r = R1. Aurait-on pu obtenir l'expression de ce flux directement ?

Partie 2 : c'est ce que j'ai donné dans mon tout premier message.

Est-ce que cet énoncé complet entraîne des modifications dans votre message de 17h55 ?

Ce que j'ai déjà écrit me semble toujours d'actualité. En revanche, il n'était pas précisé : R2 infini.
Dans ce cas, la source de chaleur n'a plus d'influence sur la température ni sur sa variation quand r tend vers l'infini :

OK merci.

Donc que dois-je répondre à la question 1 pour les conditions aux limites ?

Conditions initiales, c'est que y=0 : T=T0 ?
Il y a autre chose ?

Et finalement je remplace p_th/ par quoi dans l'égalité ? Comme on n'a pas la puissance volumique, mais seulement , je bloque.

Quel est le lien entre et p_th/ ?

L'intégralité de ce que je t'ai expliqué concerne la question 1. A toi de synthétiser.
Comme déjà expliqué, dans le conducteur thermique, c'est à dire pour r compris entre R1 et R2, p_th=0 :


La densité de flux thermique intervient dans la condition limite r=R1 déjà expliquée.