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Système masse-ressort
Bonjour,
J'aimerai faire quelques commentaires qualitatifs à propos d'un exercice de mécanique, mais je ne suis pas sûr de la pertinence de mes propos c'est pour cela je me tourne vers vous, afin de me corriger ou d'éclairer quelques interprétations auxquelles je n'ai pas prêté attention.
Le système envisagé est constitué d'un ressort R, d'un demi-cercle C et d'une perle P. Le ressort R est parfait : sans masse et développant selon sa propre direction une force proportionnelle à son élongation. On note K ce coefficient de proportionnalité et l la longueur à vide de R. Le demi-cercle est fixe, de rayon a, de centre O, est contenu dans le plan xOy, x
0, supposé vertical, Ox étant la verticale descendante. La perle P est un objet quasi-ponctuel, de masse M astreint à se déplacer sans frottement sur C. Le ressort à une extrémité liée à P et l'autre à 
de cordonnées : (-a,0,0).
Pour les conditions suivantes : on a en plus de
=0, deux autres positions d'équilibre =
/3.
Et en prenant : et
et en cherchant l'équation différentielle des petits mouvements au voisinage de
on trouve :
avec .
J'aimerai faire cette petite discussion qualitative : Si on prend masse-ressort horizontal ( un oscillateur harmonique non amorti en régime libre quelconque en fait ) on trouve la pulsation de cette oscillateur égale à : ( j'ai pris la même masse mais une autre constante de raideur pour comparer les deux ressorts ). Pour avoir la même pulsation que le système précédent, il nous faudrait une constante de raideur bien plus faible ( 8 fois plus faible ) car le ressort précédent fournit plus d'effort vu qu'il s'oppose au poids de la masse. Ce qui n'est pas le cas du système masse-ressort horizontal, ce qui fait qu'une faible constante de raideur donne le même "rendement" en terme d'oscillations puisque ce ressort ne rencontre pas d'opposition.
De même, en prenant un pendule simple, la pulsation est : , ce qui fait pour un système équivalent on a L=4a. Car, vu que le ressort s'oppose au poids, et vu qu'on a gardé la même masse M, c'est comme ci la pesanteur était plus faible dans le cas du système de l'exercice, d'où pour garder la même pulsation pour un système équivalent, il faut une plus grande longueur.
J'espère que vous pourrez me corriger, donner d'autres interprétations, me guider vers d'autres équivalences...
Merci d'avance.
Bonjour
Pour aller dans ton sens concernant les oscillateurs mécaniques harmoniques, on peut dire, de façon générale que la pulsation propre (et donc la fréquence propre) sont d'autant plus élevés que le terme de rappel est grand et que le terme d'inertie (masse ou moment d'inertie) est petit. J'appelle "terme de rappel" le quotient (force de rappel/élongation) pour une translation ou le quotient (moment de rappel/élongation angulaire) pour une rotation de l'oscillateur autour d'un axe fixe.
Cependant, très souvent, des calculs sont nécessaires avant de comparer deux fréquences propres. Je prends un exemple : le pendule simple où la masse ponctuelle décrit un arc de cercle avec élongation angulaire de faible amplitude et le pendule de Huygens où un dispositif annexe "oblige" la masse à décrire une cycloïde inversée. Quelle est la plus grande des deux fréquences propres ? Pourquoi cette fréquence propre dépend-t-elle de l'amplitude angulaire pour le pendule simple et pas pour le pendule de Huygens ? Impossible à mon avis de répondre sans un minimum de calculs...
Bonsoir,
Merci pour votre réponse. Je n'ai encore jamais traité un pendule simple avec élongation angulaire. Et dans la perspective de trouver une "astuce" pour mémoriser le cours, le fait que la pulsation propre d'un pendule simple soit donc "en gros" un terme qui a un rapport avec l'inertie divisé par un terme qui a un rapport avec l'oscillateur, et que dans le cas d'un système masse-ressort horizontal on trouve la pulsation propre égale à
qui est l'inverse ( et qui représente ce que vous avez dit, vu que K est le quotient de la force de rappel sur l'élongation ). Peut-être qu'en négligeant cette élongation angulaire dans le travail, on obtient une pulsation propre pour le pendule simple qui ne refléte pas cette "régle".
La remarque que je t'ai faite s'applique aussi au pendule simple qui est une masse en rotation autour d'un axe fixe horizontal. Le moment d'inertie de cette masse par rapport à l'axe de rotation est J=ml2. Le moment de la force de rappel (le poids) par rapport à cet axe est : -m.g.l.sin()
-m.g.l.. La remarque faite précédemment conduit bien à une pulsation propre fonction croissante de (g/l).
Cela dit : mon message précédent était destiné à généraliser tes premiers propos. Si cela doit "t'embrouiller", oublie-le !
Bonjour,
Je m'excuse, je pensais que la force de rappel du pendule simple était la tension du fil auquel est attaché la masse.
Non, non c'est bon grâce à votre explication je comprends mieux.
Merci pour vos réponses.
Tu n'as pas à t'excuser : il est toujours préférable de poser franchement les questions sur ce qui n'est pas compris. En dynamique de la rotation autour d'un axe fixe, l'influence des forces sur le mouvement se caractérise par les moments de ces forces par rapport à l'axe de rotation. Dans le cas du pendule simple, le moment de la tension du fil est nul. Le moment du poids a l'expression fournie hier. On voit clairement que, quel que soit le signe de , le moment a le signe de (-). Dans tous les cas, le poids tend à ramener le pendule vers sa position d'équilibre stable =0.
Remarque : dans ce cas très particulier du pendule simple, on peut obtenir le même résultat en projetant la RFD suivant (vecteur unitaire en coordonnées polaires).
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