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Systéme asservi

Posté par
FredoMotiva 24-11-16 à 00:02

Bonjour Madame, Monsieur,

S'il vous plait, j'ai besoin de votre aide.

J'ai une fonction de transfert :   $G(P)= \frac{10}{P+10} \ et \ un \ échelon\ unitaire: \ U(P)=\frac{1}{P} .$

A t=0   on a   y(0)=1
1°) Déterminer le signal de sortie y(t) résultant.

Ma réponse:  on sait que : $G(p)=\frac{Y(P)}{U(P)} \ \Rightarrow Y(P)=G(P).U(P) =\frac{10}{(P+10)} .\frac{1}{P}.$
   Pour trouver y(t) , j'applique la transformée inverse de Laplace et j'obtiens : y(t)=10(1 -  e^-10t) .

Le soucis est que y(0) me donne zéro (0)    et non  un (1) comme indiqué au début de la question.

2°) Préciser dans la réponse de y(t) la partie transitoire, le régime forcé et permanent et libre.

Ma réponse: le système comporte un intégrale donc il n'oscille pas.  D'après la réponse que j'ai trouvé à la question, je dirai que la partie libre vaut 10; le régime forcé est : 10e^-10t  .

Votre aide s'il vous plait!

Merci,

Posté par re : Systéme asservi 24-11-16 à 10:37

Hello

Le problème me semble venir du fait que pour prendre en compte les conditions initiales, tu dois à partir de la fonction de transfert revenir à l'équation temporelle et prendre en compte y(0+) =1 lorsque tu écris sa transformée de Laplace.

(Dis toi que la question posée est de déterminer la réponse d'un circuit RC à un échelon de tension, le condensateur étant initialement chargé. Cela peut également t'aider à répondre à la 2nde question)

Posté par re : Systéme asservi 24-11-16 à 22:11

Bonjour Monsieur Dirac,

Votre orientation m'a permis de traiter tout l'exercice. Merci beaucoup.

Cordialement,

Posté par re : Systéme asservi 25-11-16 à 05:10

Hello

Peut être trouveras tu qlq minutes pour détailler ta solution? Plus pour "partager" ton raisonnement avec les visiteurs de ce site que pour le "contrôler".
Ce petit exercice a la grande vertu de faire comprendre comment interviennent les conditions initiales dans la Transformation de Laplace et pourquoi dans les tables usuelles $f'(t) \longrightarrow pF(p) - f(0^+)$

Posté par re : Systéme asservi 25-11-16 à 20:09

S'il vous plait, veuillez trouver ci-dessous ce que j'ai fait:

$\ y(0)=1; \\\\ G(P)=\frac{10}{P+10}\\\\ \ On\ sait\ que\ G(P)=\frac{Y(P)}{U(P)} \Rightarrow \ Y(P)=G(P).U(P)\\\\ On\ peut\ aussi\ l'écrire \ sous \ la forme : \\\\Y(P)(P+10)=10.U(P) \Leftrightarrow PY(P)+10Y(P)= 10 .U(P)\\$

$A\ t=0, \ y(0)=0 \Rightarrow Y(P)(P+10)=10.U(P)\ peut\ s'écrire\ : \acute{y}(t)\ +10.y(t)=10.u(t) \\\\\ Mais\ ici\ dans\ notre\ cas\ y(0)=1\ alors\ l'expression\ Y(P)(P+10)=10.U(P)\ devient\ : \\\\ PY(P)-y(0 )\ +10.Y(P) = 10.U(P)\ or\ \ y(0)=1 \ donc\ on\ aura\ :\ \\\\ Y(P)= \frac{10}{P+10}\U(P)\ +\frac{1}{P+10}\ \Rightarrow Y(P)= \frac{10}{P+10}\ \frac{1}{P}\ +\frac{1}{P+10} \\\\ A\ present,\ on\ cherche\ la\ transformee\ inverse)\\\\ y(t)=10(1- {\ e^-10t})\ +\ e^-10t \\\\ Le\ regime\ libre\ est \ :\ e^-10t \\\\ Le\ regime\ force\ est \ :\ 10(1- {\ e^-10t})\\\\ Le\ regime\ permanent\ est \ :\ 10 \\\\ Le\ regime\ transitoire\ est \ :\ e^-10t\ -10.\ e^-10t$

Merci,

Posté par re : Systéme asservi 26-11-16 à 09:00

Très humblement, je proposerais une autre rédaction (mais très humblement alors, promis). Le "y= 0  implique ...., mais y = 1 alors ..." n'étant pas très "coulant"

La fonction de Transfert   $G(p) = \frac{10}{p+10}$    correspond à un système dont l'évolution temporelle est donnée par:

$y'(t) + 10y(t) = 10x(t)      (1)$

Avec les conditions initiales   $y(0^+) = 1$ ,  la Transformée de Laplace de   $(1)$   devient:

$pY(p) - 1  + 10Y(p) = 10X(p)$

puis on déroule le calcul...

Cela matérialise  ce que tu avais bien compris:
- la fonction de transfert ne s'intéresse pas aux conditions initiales (elle les posent nulles)
- les conditions initiales s'introduisent dans la transformation de y'