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stabilité trajectoire

Posté par
Lucas59126 06-03-18 à 11:46

Bonjour,

J'ai un DNS à rendre la semaine prochaine mais une question me pose problème, et je ne peux pas poursuivre l'exercice sans y avoir répondu.
voici l'énoncé:
Un point matériel P est soumis à une accélération centrale constamment dirigée vers le point 0 du plan (x0y) et de module:
a=k(\frac{r0}{r})^n
où k et r0 sont des constantes positives et r = OP (rayon polaire)

1) Comment faut-il choisir le vecteur vitesse initial de P pour que sa trajectoire soit un cercle de centre 0 et de rayon r0? quelle est alors sa vitesse angulaire ?

rep : j'ai utilisé la base polaire et cela donne a(M) = (\ddot{r}-r\dot{\theta }²)\vec{er} + (2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })\vec{e\theta } = -k(\frac{r0}{r})^n \vec{er}
Comme r=cst, \dot{r} ,\ddot{r} =0 et il me reste alors :
-r\dot{\theta }² = -k(\frac{r0}{r})^n et r\ddot{\theta } =0
il faut également que ce vecteur soit orthogonale au vecteur position initial. Faut-il rajouter quelque chose svp?

2) le point matériel est lâché à la distance r0 de 0 avec la vitesse angulaire 0 , mais la direction de son vecteur vitesse n'est pas tout à fait correcte pour obtenir le mouvement circulaire précédent. Sa trajectoire s'écarte alors légèrement et on pose r=r0(1+) où <<1

     a) Montrer, à l'aide des coordonnées du vecteur accélération que r²\dot{\theta }=A=cst et préciser l'expression de A en fonction de r0 et 0.

rep: je ne sais pas comment faire puisque j'ai, en utilisant le vecteur accélération r\dot{\theta }² et non r²\dot{\theta }

     b) Établir l'équation différentielle vérifiée par .

rep: on a donc \dot{r }=\dot{\epsilon } et \ddot{r}=\ddot{\epsilon }
je pense qu'il faut intégrer l'expression de A (que je n'ai pas) pour extraire une expression de afin d trouver l'équa diff. Suis-je sur la bonne piste ou pas?

    c) en tenant compte que les résultats obtenus à la question 1) sont presque vérifiés et que   est petit, établir l'équation
\ddot{\epsilon } + 0²(3-n) =0

rep: à mon avis, on devrait obtenir une equa diff de la forme
\ddot{\epsilon } + (3-n)*(résultat de la question1) =0 et on remplace "résultat de la question 1" par 0?

merci d'avance
lucas

Posté par
vanoisere : stabilité trajectoire 06-03-18 à 12:38

Bonjour
Jste quelques indications pour avancer.

Ce que tu as écrit concernant la question 1) est correct mais re crois qu'il faut être plus précis. A l'état initial, r=r_{0}, ce que tu as écrit conduit à :

r_{0}.\omega^{2}=k\quad ou\quad\frac{v_{0}^{2}}{r_{0}}=k

Pour la question 2a) : tu peux raisonner sur la conservation du moment cinétique.

Posté par
Lucas59126re : stabilité trajectoire 06-03-18 à 12:51

merci beaucoup pour ta réponse je n'y avais pas pensé .. par contre qu'entends tu par conservation du moment cinétique stp?

Posté par
vanoisere : stabilité trajectoire 06-03-18 à 13:55

Dans le repère d'étude supposé galiléen, le moment cinétique de la masse ponctuelle P, calculé au point O, a pour expression :

\overrightarrow{L}=\overrightarrow{OP}\wedge\left(m.\overrightarrow{V}\right)
Je te laisse le soin de dériver par rapport au temps. On obtient :

\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=\overrightarrow{OP}\wedge\left(m.\overrightarrow{a}\right)=\overrightarrow{OP}\wedge\overrightarrow{F}
Comme ici la force et donc aussi l'accélération sont constamment orientées selon \overrightarrow{e_{r}} , le vecteur moment cinétique est un vecteur fixe au cours du temps.
Je te laisse développer le vecteur moment cinétique en utilisant les coordonnées polaires. Tu vas bien obtenir :

r^{2}.\dot{\theta}=A\quad\text{(constante facile à exprimer en fonction de ro et Vo)}

Posté par
Lucas59126re : stabilité trajectoire 06-03-18 à 14:16

merci je vois un peu l'idée du coup ça me donnerait:
\vec{OP}\Lambda\vec{F} = (((\ddot{r}-r\dot{\theta }²)\vec{er}+(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })\vec{e\theta } )\Lambda \vec{er}

or er vectoriel er =0 donc il ne me reste plus que (2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })\vec{e\theta }\Lambda \vec{er}

mais après je ne vois pas trop comment tu obtiens r²\dot{\theta }

Posté par
vanoisere : stabilité trajectoire 06-03-18 à 14:38

Tu as oublié un “r” dans ton calcul. On obtient alors le résultat correct car la dérivée par rapport au temps de r^{2}.\dot{\theta} est bien : 2r.\dot{r}.\dot{\theta}+r^{2}.\ddot{\theta}. Cependant, il y a beaucoup plus simple. Tu dois savoir que le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaire est le vecteur nul. Puisque, par hypothèse, les vecteurs \overrightarrow{OP}  et \overrightarrow{a} sont colinéaires, on peut affirmer que le vecteur moment cinétique est fixe. Son expression devient :

\overrightarrow{L}=m.r.\overrightarrow{e_{r}}\wedge\left(\dot{r}.\overrightarrow{e_{r}}+r.\dot{\theta}.\overrightarrow{e_{\theta}}\right)=m.r^{2}.\dot{\theta}.\overrightarrow{e_{z}}
Donc...

Pour la suite, il faut avoir en tête le développement de \frac{1}{\left(1+x\right)^{n}} au voisinage de x=0, limité au premier ordre :

\frac{1}{\left(1+x\right)^{n}}=\left(1+x\right)^{-n}\approx1-n.x

Posté par
vanoisere : stabilité trajectoire 06-03-18 à 14:43

Autre remarque pour la suite :

\ddot{r}=r_{0}.\ddot{\varepsilon}
L'équation différentielle a vérifier est sans doute plutôt :

\ddot{\varepsilon}+\left(3-n\right)\omega_{0}^{2}.\varepsilon=0

Posté par
Lucas59126re : stabilité trajectoire 06-03-18 à 14:50

en effet j'ai oublié un en recopiant.
Par contre je ne vois pas trop ce que vient faire le dl ici, surtout où il intervient.
sinon encore merci pour tes réponses cest super sympa

Posté par
Lucas59126re : stabilité trajectoire 06-03-18 à 15:04

désolé mais j'ai refais le calcul et je n'ai pas de r en plus. si j'utilise le vecteur accélération en polaire, vectoriel er je ne retrouve pas le résultat attendu.

Posté par
Lucas59126re : stabilité trajectoire 06-03-18 à 15:10

par contre si je fait le produit vectoriel de r\vec{er} par le vecteur accélération, ca fonctionne bien.
j'obtiens donc \frac{d}{dt}(r²\dot{\theta })=(r²\dot{\theta } + 2r\dot{r}\ddot{\theta })
il me reste donc à exprimer r²\ddot{\theta } et non\frac{d}{dt}(r²\dot{\theta }) cest ça?

Posté par
vanoisere : stabilité trajectoire 06-03-18 à 15:23

Tu n'as pas bien compris mes messages précédents. L'expression du moment cinétique est :

\overrightarrow{L}=m.r.\overrightarrow{e_{r}}\wedge\left(\dot{r}.\overrightarrow{e_{r}}+r.\dot{\theta}.\overrightarrow{e_{\theta}}\right)=m.r^{2}.\dot{\theta}.\overrightarrow{e_{z}}
Le vecteur L est fixe, la masse est fixe et le vecteur unitaire ez aussi est fixe. Que veux-tu de plus pour la question 2a) ?
Pour la suite, il faut appliquer la RFD et tenir compte des résultats qui viennent d'être acquis. Tu comprendras alors la pertinence de mon dernier message.

Posté par
Lucas59126re : stabilité trajectoire 06-03-18 à 15:32

justement je n'ai pas vraiment compris puisque je n'ai pas encore vu tout ce qui est moment cinétique. j'essaie de comprendre ce que tu as fais mais comme je viens de débuter la méca, ça n'est pas chose aisée.
j'ai vaguement abordé la mécanique du point c'est tout. En si j'ai vite fait vu tout ce qui était PFD, produit vectoriel c'est tout.
désolé mais je ne vois toujours pas ce que vient faire le dl ici

Posté par
vanoisere : stabilité trajectoire 06-03-18 à 16:00

C'est vrai que cet exercice me parait bien difficile pour quelqu'un qui débute juste la mécanique du point. Il ne devrait pas être donné avant que ne soit traité le chapitre général sur les mouvements à force centrale...

Pour la question 2b) il suffit d'exprimer le vecteur accélération en tenant compte des remarques précédentes :

\overrightarrow{a}.\overrightarrow{e_{r}}=-k\left(\frac{r_{0}}{r}\right)^{n}=\ddot{r}-r.\dot{\theta}^{2}

J'explicite chaque terme en posant : r=r_{0}.\left(1+\varepsilon\right) :

k=r_{0}.\omega_{0}^{2}\quad;\quad\left(\frac{r_{0}}{r}\right)^{n}=\frac{1}{\left(1+\varepsilon\right)^{n}}=\left(1+\varepsilon\right)^{-n}\approx1-n.\varepsilon

\ddot{r}=r_{0}.\ddot{\varepsilon}

r.\dot{\theta}^{2}=\frac{A^{2}}{r^{3}}=\frac{\left(r_{0}^{2}.\omega_{0}\right)^{2}}{r_{0}^{3}.\left(1+\varepsilon\right)^{3}}=\frac{r_{0}.\omega_{0}^{2}}{\left(1+\varepsilon\right)^{3}}\approx r_{0}.\omega_{0}^{2}.\left(1-3.\varepsilon\right)

En reportant au dessus, tu devrais aboutir à l'équation différentielle :

\ddot{\varepsilon}+\left(3-n\right)\omega_{0}^{2}.\varepsilon=0

Posté par
Lucas59126re : stabilité trajectoire 06-03-18 à 16:03

oh merci beaucoup en effet je comprends mieux l'utilisation du DL, un grand merci c'est vraiment sympa de ta part


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