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Spectre de Planck

Posté par
LordOfLambs 28-01-18 à 12:43

Bonjour à tous voici l'énoncé :

On rappelle l'expression du spectre en fréquence du corps noir :
$B_{\upsilon }(T) = \frac{2h\upsilon ^{3}}{c^{2}}\frac{1}{e^{\frac{h\upsilon }{K_{B}T}}-1}$

Calculer la fréquence $\upsilon_{max}$ correspondant au maximum du spectre. Montrer qu'il faut pour cela résoudre l'équation transcendante $1 - e^{-x} = \frac{x}{3}$ . On cherchera une solution de la forme $x = 3(1 - \epsilon )$ avec $\epsilon$ petit.

En calculant $B_{\upsilon }d\upsilon = 0$ on trouve :
$\frac{1}{e^{\frac{h\upsilon}{K_{B}T} }-1}=\frac{h\upsilon}{3K_{B}T}\frac{e^{\frac{h\upsilon}{K_{B}T}}}{(e^{\frac{h\upsilon}{K_{B}T}}-1)^{2}}$

En faisant le changement de varriable $x=\frac{h\upsilon}{K_{B}T}$ on retrouve bien
$1 - e^{-x} = \frac{x}{3}$

Mais qu'elle est la solution de cette equation ??

Posté par re : Spectre de Planck 28-01-18 à 14:55

Bonjour
On te dit de poser x=3(1+e) e <<1
Donc tu remplaces x dans l expression et tu fais un développement limité

Posté par re : Spectre de Planck 28-01-18 à 14:56

Pardon
X= 3(1-e)

Posté par re : Spectre de Planck 28-01-18 à 14:59

Bonjour
Tu peux utiliser la méthode préconisée par l'énoncé
Remplace x par 3(1-)
exp(-x)=exp(-3).exp(3)
Développement limité au premier ordre de l'exponentielle :
exp(3)1-3 car 3<<1.
Tu devrais alors t'en sortir seul.

Posté par re : Spectre de Planck 28-01-18 à 15:51

Super !
Merci à toi vanoise

Posté par re : Spectre de Planck 28-01-18 à 15:53

Et à toi aussi krinn

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