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Solution Equa Diff Chute de Solide dans Fluide f=kv²
Bonjour,
je suis actuellement en train de préparer un concours et j'ai un soucis pour trouver la solution d'une équation différentielle.
En effet, l'énoncé dit:
une fois les ballastes d'un sous-marin remplies d'eau de mer, le sous-marin plnoge, ses moteurs étant éteints. Il est alors soumis à une force de frottement de module f=kv², v étant le module de la vitesse et k une constante positive.
Donc, personnellement je sais que la forme de l'équation différentielle du mouvement est (avec a et b des constantes positives):
(dv/dt) = a - bv²
sauf que, pour une vitesse initiale nulle, on me demande la solution de cette équation différentielle (avec alpha et beta des constantes positives) et je bloque.... voici les solution proposées sachant qu'il peut y avoir une ou deux solutions bonnes ou encore, aucune solutions de bonne.
1- v = alpha + beta*t
2- v = alpha*(1-exp(-beta*t))
3- v = alpha*sin(beta*t)
4- v = alpha * [(exp(beta*t)-1)/(exp(beta*t)+1)]
Franchement j'ai cherché partout sur le net la forme générale de la solution de cette équation différentielle sans succès.
Je vous remercie par avance pour votre aide.
Cordialement.
c'est assez difficile de trouver la solution générale de cette équa diff. Mais puisque des solutions te sont proposées, pourquoi ne pas toutes les essayer ?
Par exemple la premiere solution : v = 
+ 
t
dv/dt ça donne alors que dans le membre de droite, ton v² va te donner du t et du t² donc impossible que le temps se simplifie !
Essaie les autres solutions, il faut que le temps se simplifie à droit et à gauche, pour garder une équation fonction de a, b, et
Le bon chemin est indiqué par efpe ...
A la seule condition que la solution soit bien présente dans les propositions ...
Ce qui n'est pas, je pense, le cas.
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Je cherche donc autrement :
dv/dt = a - bv²
Si (a-bv²) est différent de 0, alors :
dv/(a-bv²) = dt
dv/[(rac(a)-rac(b).v)(rac(a)+rac(b).v)] = dt
(1/(2.rac(a)) * [ dv/(rac(a)-rac(b).v) + dv/(rac(a)-rac(b).v)] = dt
Et en intégrant :
(1/(2.rac(a)) * [-1/rac(b) * ln|rac(a)-rac(b).v| + 1/rac(b) * ln|rac(a)+rac(b).v|] = t + K
1/(2.rac(ab)) * [ln|(rac(a)+rac(b).v)/(rac(a)-rac(b).v)| = t + K
t = 0 --> v = 0 :
1/(2.rac(ab)) * [ln|(rac(a)/(rac(a))| = K
K = 0
Et donc : 1/(2.rac(ab)) * [ln|(rac(a)+rac(b).v)/(rac(a)-rac(b).v)| = t
[ln|(rac(a)+rac(b).v)/(rac(a)-rac(b).v)| = 2.rac(ab).t
(rac(a)+rac(b).v)/(rac(a)-rac(b).v) = e^(2.rac(ab).t)
(rac(a)+rac(b).v) = (rac(a)-rac(b).v).e^(2.rac(ab).t)
rac(b).v.(1 + e^(2.rac(ab).t)) = rac(a).(e^(2.rac(ab).t) - 1)
v = rac(a/b).(e^(2.rac(ab).t) - 1)/(1 + e^(2.rac(ab).t))
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Et voila, sauf distraction. 
...
Enfin, on peut toujours dire que c'est la proposition 4 la bonne ...
En posant Alpha = rac(a/b) et Beta = 2.rac(ab)
... Je pensais que alpha et Beta avait été écrit à la place de a et b dans l'énoncé ...
Bah écoutez je suis impressionné par vos réponses rapide et très pédagogues.
Je vous remercie beaucoup pour votre aide et malheureusement pour vous je pense que dans les jours qui viennent je vais avoir d'autre questions pour vous ^^
Bonne soirée.
Cordialement.
Si (a-bv²) est différent de 0, alors :
dv/(a-bv²) = dt
(1) dv/[(rac(a)-rac(b).v)(rac(a)+rac(b).v)] = dt
(2) (1/(2.rac(a)) * [ dv/(rac(a)-rac(b).v) + dv/(rac(a)+rac(b).v)] = dt
rebonjour, j'ai essayé de retrouver votre solution, mais j'ai un soucis pour comprendre comment vous êtes passé de la ligne (1) à la ligne (2).
Merci à vous.
Cordialement.
C'est la méthode des fractions rationnelles.
1/[(rac(a)-rac(b).v)(rac(a)+rac(b).v)] = A/(rac(a)-rac(b).v) + B/(rac(a)+rac(b).v)
Il faut trouver A et B pour que cella colle.
Mettre le membre de droite au même dénominateur
1/[(rac(a)-rac(b).v)(rac(a)+rac(b).v)] = [A(rac(a)+rac(b).v) + B(rac(a)-rac(b).v)]/[(rac(a)-rac(b).v)(rac(a)+rac(b).v)]
-->
1 = A(rac(a)+rac(b).v) + B(rac(a)-rac(b).v)
1 = [A.rac(a) + B.rac(a)] + v.[A.rac(b) - B.rac(b)]
On identifie les coefficients de même puissance en v des 2 membres et on arrive donc au système :
[A.rac(a) + B.rac(a)] = 1
[A.rac(b) - B.rac(b)] = 0
b étant différent de 0, la 2ème équation donne A = B
et donc avec la première équation, on arrive à : A = B = 1/(2.rac(a))
--->
1/[(rac(a)-rac(b).v)(rac(a)+rac(b).v)] = (1/(2.rac(a)))/(rac(a)-rac(b).v) + (1/(2.rac(a)))/(rac(a)+rac(b).v)
1/[(rac(a)-rac(b).v)(rac(a)+rac(b).v)] = (1/(2.rac(a))).[1/(rac(a)-rac(b).v) + 1/(rac(a)+rac(b).v)]
Et donc:
dv/[(rac(a)-rac(b).v)(rac(a)+rac(b).v)] = dt peut s'écrire :
(1/(2.rac(a))).[dv/(rac(a)-rac(b).v) + dv/(rac(a)+rac(b).v)] = dt
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Sauf distraction.
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