Niveau maths sup

Signal triangulaire

Posté par
QLglt27 27-01-18 à 19:27

Bonjour à tous, jai un exercice sur la notion de filtrage qui me pose problème. Le voici:

Déterminer les coefficients de Fourier d un signal triangulaire d amplitude V et de période T à partir des coefficients de la fonction créneau d amplitude E et de même période T : S(t)=(4E/pi)p=0 a l infini de 1/(2p+1)*sin((2p+1)w0t)

Alors je pensais faire l intégrale de cette expression car la derivee du créneau est le triangle mais malheureusement je ne tombe pas sur la bonne expression car j'ai lu sur internet que cetait de la forme 8E/pi au carré ...

Pouvez vous m aider s'il vous plaît
Merci d avance et bonne fin de journée

Posté par re : Signal triangulaire 27-01-18 à 19:55

Bonjour
Tu ne confondrais pas, par hasard, dérivée et primitive ?

Posté par re : Signal triangulaire 27-01-18 à 20:40

Ah oui pardon je dois deriver S(t) plutot ! Mais je ne tombe toujours pas sur un resultat satisfaisant...

Posté par re : Signal triangulaire 27-01-18 à 22:09

Ah nan pardon, je dois bel et bien faire l integrale de S(t) car le signal triangulaire est la dérivée du signal créneau. Mais je ne vois toujours pas comment retomber sur du 8E^2/^2
Et pour l'amplitude V du signal triangulaire je sais qu'il a un role mais je ne sais pas comment l'introduire dans mon expression...

Merci d avance !

Posté par re : Signal triangulaire 27-01-18 à 22:21

Je pense que tu sais calculer la primitive d'un sinus. Tes difficultés proviennent sans doute d'une mauvaise appréciation de l'amplitude du signal.
Partons du signal rectangulaire alternatif (valeur moyenne nulle) d'amplitude E. Comme donné par l'énoncé, la valeur instantanée du signal vaut :

$s(t)=\frac{4E}{\pi}\cdot\sum_{p=0}^{\infty}\frac{\sin\left[\left(2p+1\right)\omega_{0}t\right]}{2p+1}$
Ce signal représente la dérivée d'un signal triangulaire alternatif. La valeur instantanée du signal triangulaire alternatif v(t) est donc la primitive de valeur moyenne nulle de s(t) :

$v(t)=-\frac{4E}{\pi\omega_{0}}\cdot\sum_{p=0}^{\infty}\frac{\cos\left[\left(2p+1\right)\omega_{0}t\right]}{\left(2p+1\right)^{2}}$
E désigne la valeur de la dérivée par rapport à t de v(t) lorsque v(t) passe de la valeur (-V) à la valeur (+V) en une demie période :

$E=\frac{2V}{\frac{T}{2}}=\frac{4V}{T}$
D'où l'expression de v(t) en fonction de son amplitude V :

$v(t)=-\frac{16V}{\pi\omega_{0}.T}\cdot\sum_{p=0}^{\infty}\frac{\cos\left[\left(2p+1\right)\omega_{0}t\right]}{\left(2p+1\right)^{2}}=-\frac{8V}{\pi^{2}}\cdot\sum_{p=0}^{\infty}\frac{\cos\left[\left(2p+1\right)\omega_{0}t\right]}{\left(2p+1\right)^{2}}$
puisque : $\omega_{0}.T=2\pi$ .
Par rapport aux résultats habituellement présentés sur le net, le cosinus apparaît affecté d'un signe "-" car, compte tenu du signal s(t) choisi, la date t=0 correspond à v(0)=-V. Un décalage de l'origine des dates d'un quart de période permettrait de tomber sur v fonction impaire de t (série en sinus) et un décalage d'une demie période permettrait d'obtenir pour v une fonction paire de t (série en cosinus comme ici mais avec v(0)=+V.
Si cela ne te parait pas évident, aide-toi d'un schéma.
Je te laisse réfléchir...