Niveau école ingénieur

Séparation des variables et superposition en transfert thermique

Posté par
Florianb 30-09-15 à 00:03

Bonsoir à tous,

J'ai créé ce sujet car j'ai une question qui me pose problème concernant l'utilisation de la méthode de séparation des variables ainsi que la méthode de superposition dans le cadre de mon cours de transfert thermique.

Voici la situation de mon problème : on considère un domaine carré, avec une génération de chaleur constante dans l'ensemble du domaine et notée $\omega$ et les conditions aux limites suivants :

$T(x,0) = T_1$
$T(x,L) = T_1$
$T(0,y) = T_1$
$T(L,y) = T_2$

On utilise alors l'équation de la chaleur :

$\Delta T = \dfrac{\omega}{k}$

Puis l'énoncé propose de résoudre le problème en posant d'abord : $T(x,y) = M(x,y) + \phi(x)$

J'ai réinjecté cette expression dans l'équation de la chaleur pour obtenir les deux sous-problèmes suivants :

$\dfrac{d²\phi}{dx²} = \dfrac{\omega}{k}  ;  \phi(0) = 0  ;  \phi(L) = \theta_2$

$\Delta M = 0  ;  M(x,0) = -\phi(x)  ;  M(x,L) = -\phi(x)  ;  M(0;y) = 0  ;  M(L;y) = 0$

On peut facilement résoudre le problème pour $\phi$ . Puis pour $M$ j'ai réutilisé la même méthode en posant $M(x;y) = M_1(x;y) + M_2(x;y)$ et j'ai ensuite utilisé la méthode de séparation des variables pour $M_1$ et $M_2$ .

En remettant toutes les pièces du puzzle ensemble on peut alors donner l'expression de $T(x;y)$ .

Mais le problème continue et c'est là où j'ai un problème. La question est la suivante :

Désormais, $\omega$ n'est plus une constante. Si l'on pose $\omega = \omega(x)$ , que faut-il changer à la méthode précédente pour résoudre le problème ? Même question si l'on pose $\omega = \omega(y)$ ?

Pour la première question j'aurais envie de répondre qu'il n'y a rien à changer. Dans le deuxième cas j'ai l'impression qu'il faut simplement changer $\phi$ et affirmer désormais que $\phi = \phi(y)$ . On obtiendrait alors les deux sous-problèmes suivants :

$\dfrac{d²\phi}{dy²} = \dfrac{\omega(y)}{k}  ;  \phi(0) = 0  ;  \phi(L) = 0$

$\Delta M = 0  ;  M(x,0) = 0  ;  M(x,L) = 0  ;  M(0;y) = - \phi(y)  ;  M(L;y) = \theta_2 - \phi(y)$

Pourriez-vous s'il-vous-plait m'aiguiller, me donner des pistes de réflexion pour pouvoir répondre à ces deux questions ?

Merci d'avance pour vos réponses,

Florian

Posté par re : Séparation des variables et superposition en transfert ther 30-09-15 à 15:47

Bonjour Florian,
J'avoue avoir beaucoup de peine à me représenter le problème sur le plan physique : régime permanent , je suppose mais pour le reste, les notations n'étant pas vraiment standardisées dans ce domaine de la physique...

Posté par re : Séparation des variables et superposition en transfert ther 30-09-15 à 15:58

Bonjour vanoise

Je te joins un schéma de la situation.

Je tiens à préciser que pour homogénéiser le problème j'ai posé :

$\theta = T - T_1$

Je m'étais d'ailleurs mal exprimé, j'aurais dû écrire : $\Theta(x,y) = M(x,y) + \phi(x)$ et on a $\theta_2 = T_2 - T_1$

Ma question devient-elle un peu plus claire comme cela ?

Florian

Séparation des variables et superposition en transfert ther

Posté par re : Séparation des variables et superposition en transfert ther 30-09-15 à 23:50

Bonsoir,
Tu as pratiquement le même problème corrigé au paragraphe 1.3.1 du site suivant :

Posté par re : Séparation des variables et superposition en transfert ther 01-10-15 à 11:38

Bonjour,
Selon mes premières réflexions qui demandent à être confirmées, on peut en conservant ton expression de $\phi\left(x\right)$ chercher une solution de la forme :
$M(x,y)=\sum_{k}A_{k}\cdot\sin\left(\frac{k\cdot\pi}{L}\cdot x\right)\cdot\cosh\left[\frac{k\cdot\pi}{L}\cdot\left(y-\frac{L}{2}\right)\right]$
La suite est assez calculatoire...
Quel est le dispositif réel modélisé ainsi ? Une plaque carrée qui reçoit une puissance thermique surfacique uniforme et constante : OK mais, puisque le régime est permanent, il faut aussi imaginer que la puissance thermique perdue par conduction par la plaque est cédée uniquement sur les bords supposées extrêmement minces puisque le vecteur $\overrightarrow{grad}\left(T\right)$ appartient au plan de la plaque...

Posté par re : Séparation des variables et superposition en transfert ther 01-10-15 à 15:11

Bonjour vanoise

Je suis d'accord avec toi. D'ailleurs l'exercice ne demande pas de trouver la solution mais simplement d'exposer la méthode jusqu'à justement arriver au moment où le tout devient assez calculatoire (série de Fourier, intégrale, etc.).

Ma question portait surtout sur ce qui se passait quand la puissance thermique devient une fonction de $x$ puis de $y$ . Car pour moi on peut encore résoudre le problème lorsque la puissance est une fonction de $x$ en utilisant exactement la même méthode. Et pour la puissance étant une fonction de $y$ j'avais l'impression qu'il suffisait simplement de poser cette fois $\phi = \phi(y)$ (ce qui change aussi légèrement les conditions aux limites de $M$ mais rien de bien méchant).

Par contre pour le dispositif modélisé je n'en ai aucune idée pour être honnête. Je suis aux US en ce moment, et cet exercice fait simplement partie d'une série de trois exercices que nous avons à faire en DM afin d'utiliser les techniques que nous avons apprises en cours. Juste une précision par contre, la puissance thermique est volumique (source).

Florian

Posté par re : Séparation des variables et superposition en transfert ther 01-10-15 à 15:28

La puissance dont tu parle est effectivement volumique pour respecter l'homogénéité de ton équation de conservation, mais, ramenée à une plaque d'épaisseur e faible, on peut définir ,je pense une puissance surfacique uniforme.
Je suis tout de même perplexe sur le réalisme du problème : la puissance thermique évacuée à travers les surfaces d'aires (L.e) doit correspondre à des densités surfaciques j_Q de puissance énormes donc à des gradients de températures très élevés. Il y de plus discontinuité de température aux deux coins droits de la plaque...
On peut effectivement résoudre formellement le problème en supposant w variable dans la mesure où l'équation de conservation reste la même. Mais alors : le réalisme...

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