Bonjour,
je chercherai de l'aide pour résoudre une équation. J'ai essayé de la résoudre mais j'ai plusieurs interrogations. Je ne suis vraiment pas sure

Voici l'énoncé:

Résoudre l'équation d'ondes tel que:
²f/x² - ²f/y²=0

en utilisant le changement de variable x=u+v y=u-v


Soit j'utilise le changement de variable et on définit une fonction g tel que
g(u,v)= f(u+v,u-v)

On a
g/u = f/x +f/y

g/v = f/x -f/y

Par ailleurs:

²f/x² - ²f/y²=0
  
[²/x² - ²/y²] f(x,y)=0

[(/x - /y) (/x + /y)] f(x,y)=0 (1) *Je  ne sais pas si on a le droit d'appliquer une identité remarquable ici : est-ce mathématiquement juste ?*

Soit on remarque que (1) s'écrit:
[/u] * [/v] (g(u,v))= 0

Soit ²g/u v=0

J'en déduis intuitivement que g(u,v)= h1(v) ou g(u,v)= h2(u).
On vois bien que si on prend un fonction g seulement dépendant de u ou v, on trouvera que la dérivée partielle second par rapport à u et v sera nulle.. Par contre je ne vois aucune manière de le démontrer mathématiquement.  

Soit g(u,v)= h1(v)+ h2(u)

D'où f(u+v, u-v) = h1(v)+h2(u)= h1((x-y)/2) + h2((x+y)/2)=f(x,y)