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Résolution d'équation d'intégrale

Posté par
Wimengo 23-02-15 à 13:59

Bonjour,

Dans une exercice de mécanique analytique je dois résoudre une équation intégrale pour retrouver une équation de trajectoire, mais je n'arrive pas à trouver la méthode adéquate.

En effet j'ai un relation pour l'action :

S=-Et + M\theta +\int\sqrt{\frac {1}{c^{2}}(E-eV)^{2}-\frac {M^{2}}{r^{2}}-m^{2}c^{2}} dr

Alors j'écris

\beta =\frac{\partial S}{\partial M} = \theta + \int\frac{\frac{-M}{r^{2}}}{\sqrt{\frac {1}{c^{2}}(E-eV)^{2}-\frac {M^{2}}{r^{2}}-m^{2}c^{2}}} dr

Et je me retrouve coincé pour calculer cette équation intégrale, je ne vois pas comment isoler la racine pour utiliser la relation suivante :

\int\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=arcsin\frac {x}{a}

Merci de m'éclairer, merci

Posté par
Pirhore : Résolution d'équation d'intégrale 23-02-15 à 14:40

Bonjour,

Une piste

Tu peux toujours remplacer les termes constants sous le radical par A2 par exemple.

tu obtiens  

\large\int\frac{\frac{-M}{r^2}}{A\sqrt{1-\frac{M^2}{Ar^2}}}dr

\large u =\frac{M}{Ar}~,du=\frac{-M}{Ar^2}dr ce qui conduit à un arcsin

sauf erreur de ma part

Posté par
Wimengore : Résolution d'équation d'intégrale 23-02-15 à 14:43

Merci beaucoup, j'essaie ça tout de suite !

Posté par
Wimengore : Résolution d'équation d'intégrale 23-02-15 à 14:51

En fait je suis coincé car :

eV=\frac{-\alpha}{r}

Donc j'ai du r dans mon équation qui me gêne pour l'intégration

Posté par
PirhoRésolution d'équation d'intégrale 23-02-15 à 15:26

Citation :
Alors j'écris

\beta =\frac{\partial S}{\partial M} = \theta + \int\frac{\frac{-M}{r^{2}}}{\sqrt{\frac {1}{c^{2}}(E-eV)^{2}-\frac {M^{2}}{r^{2}}-m^{2}c^{2}}} dr


Je n'aurais pas pu le deviner car çà ne figurait pas dans ta relation de départ.

Pourrais-tu réecrire la relation finale qu'il faut résoudre?

Je vais poursuivre ma réflexion mais excuse moi maintenant je dois partir et ne rentrerai que vers 19h.

Posté par
Wimengore : Résolution d'équation d'intégrale 23-02-15 à 15:39

Oui désolé j'avais oublié que c'était LE détail important, je vais réécrire ça. Merci beaucoup en tout cas.

\beta =\frac{\partial S}{\partial M} = \theta + \int\frac{\frac{-M}{r^{2}}}{\sqrt{\frac {1}{c^{2}}(E+\frac{\alpha}{r} )^{2}-\frac {M^{2}}{r^{2}}-m^{2}c^{2}}} dr

Du coup j'arrive pas à isoler tous les r de manière à correspondre à la formule avec le arcsinus.

Autre détail, on nous dit que M > \frac {\alpha}{c}, mais ça je ne vois pas du tout à quoi ça sert.

Posté par
PirhoRésolution d'équation d'intégrale 23-02-15 à 18:56

As-tu une idée du signe des différents coefficients?

Cela pourrait peut-être avoir une influence sur la façon de primitiver.

Je vais voir

Posté par
Wimengore : Résolution d'équation d'intégrale 23-02-15 à 20:02

Et bien je sais que alpha > 0, et je suppose que les autres aussi sont positifs mais je ne vois pas pourquoi cela jouerait autant d'un point de vue mathématique.

Posté par
PirholicenceRésolution d'équation d'intégrale 23-02-15 à 22:49

en posant

u=\dfrac{\alpha}{r},~~du=-\dfrac{\alpha}{r^2}dr,~~\dfrac{du}{\alpha}=-\dfrac{dr}{r^2}

Il faut injecter u sous le radical et réduire au même dénominateur (c^2\alpha^2) que l'on peut sortir du radical.

Ensuite, il faut regrouper pour faire apparaître un arcsin

Les calculs sont assez longs.

Je ne suis pas encore arrivé au bout mais çà devrait "marcher

Je continuerai demain.

Posté par
Wimengore : Résolution d'équation d'intégrale 24-02-15 à 10:51

Merci pour la piste, j'essaie d'approfondir ça tout de suite

Posté par
PirhoRésolution d'équation d'intégrale 24-02-15 à 11:26

Je suis arrivé au bout mais il y a 3 pages de calcul format A4.

Comment je pourrais les transmettre? Sous Latex, je veux bien essayer mais çà ne pas être évident.

Si il faut je prendrai mon courage à deux mains et je le ferai.

Posté par
Wimengore : Résolution d'équation d'intégrale 24-02-15 à 11:37

J'ai une question qui va peut-être sembler bête mais pour ce qui est du \frac {-1}{r^{2}}, on le remplace par :

\frac {-1}{r^{2}}=\frac {du}{\alpha dr}

Parce que si on injecte tout ça dans l'intégrale j'obtiens toujours du dr qui ne se simplifie pas

Posté par
Wimengore : Résolution d'équation d'intégrale 24-02-15 à 11:42

Trois pages de calculs ?! Et bien, j'imagine que sous Latex cela doit être laborieux à coder. Avez-vous la possibilité de prendre les calculs en photo ?
Je pourrai vous envoyer un mail à l'adresse mail qui figure sur votre profil, si c'est une bonne adresse, pour que vous puissiez avoir la mienne et envoyer les photos en pièce jointe.

En tout cas merci sincèrement.

Posté par
PirhoRésolution d'équation d'intégrale 24-02-15 à 12:06

Je pense que passer par les mails privés est la meilleure formule.

C'est la bonne adresse sur mon profil.

Vous aurez la réponse à la question du changement de variable

Posté par
Wimengore : Résolution d'équation d'intégrale 24-02-15 à 12:09

Je vous ai contacté

Posté par
PirhoRésolution d'équation d'intégrale 24-02-15 à 12:38

OK bien reçu. Je vous envoie les documents début d'après-midi.


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