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Résoance dans tube particulier

Posté par
Romain62 08-09-17 à 19:56

Bonjour,
dans le cadre de mon mémoire je dois détailler une formule permettant de déterminer la fréquence de résonance d'une onde acoustique dans un cylindre fermé a une exterminée par un système masse ressort et de l'autre pas une parois infiniment rigide.

J'ai déjà tout le développement de la formule, (ce forum m'a d'ailleurs aider a la trouver, mais j'ai besoin d'info complementaires), qui a était validé par mon professeur de physique, il y a juste un ou 2 point ou je n'arrive pas bien a me relire (le travail a était fait il y a longtemps...)

Je dois donc nommer tout les terme

Zm =impédance du système masse ressort
z1 impédance en x1 (parois fixe du conduit)
z2 impédance sur la parois liée au système masse ressort
k raideur du ressort
K facteur
m masse du système masse ressort
c célérité du son
S surface du tympan
rho densités de l'aire
w pulsation propre de l'onde

$Zm=f'+j(mw-\frac{k}{w}) \\ z2=\frac{z1-j*tan(Kl)}{1-j*z1*tan(Kl)} \\ z2=\frac{z1}{-j*z1*tan(Kl)} \\ z2=\frac{j}{Kl}=S*\rho *c*z2 \\ zm=z2 a la membrane \\ ztot=Zm+f'+j(mw-\frac{k}{w}-\frac{S*\rho *c}{tan(Kl)} \\ si il y a résonance, la partie imaginaire est nul \\ mw-\frac{k}{w}-\frac{S*\rho *c}{tan(Kl)}=0 \\ or \\ w=2\Pi *f \\ donc \\ m*2*\Pi *f-\frac{k}{2*\Pi *f}-\frac{S\rho *c}{tan(Kl)}=0 \\ or \\ tan(Kl) faible donc tan(Kl)=Kl \\ \\ Donc \\ \\ f²=\frac{1}{(2\Pi )²}*(\frac{k+\frac{S\rho *c²}{l}}{m}$

j'aurais besoin que vous validiez qu'il n'y est pas eu d'erreur dans la dénomination des thermes, que je n'ai pas inversé de K et k, je pense qu'il y a des erreurs entre les Z et z et que l'on m'expliquer comme en passe de $z2=\frac{j}{tan(kl)} a Z2=S\rho cz2$ .

Si certaines parties du calcule mériteraient selon vous d'être plus approfondies, je suis preneur de tout conseil (la physique ne représente qu'une petite partie de mon travail).

Cela vous parait peut être simple, mais il s'agit pour moi de notions ancienne dans lesquelles je dois me replonger et re-maitriser rapidement pour ma soutenance..

Merci de votre aide,
Un étudiant en détresse ^^

Posté par re : Résoance dans tube particulier 08-09-17 à 23:42

Bonjour
Cela fait quelques mois en effet !
J'ai relue les messages précédents. Tout ce que j'ai écrit n'est pas à conserver : je n'avais pas une idée très précise dans les premiers messages de la situation à modéliser.
Tu peux reprendre tout de même la démonstration du 19-03-17 à 19:15 avec quelques adaptations minimes ; la force motrice n'est pas évidement une force de Laplace mais une force quelconque d'excitation d'origine acoustique. Tu as maintenant choisi de noter k la constante de raideur du ressort et non K ; tu notes m et non M la masse. Tu notes également f' le coefficient de frottement et non R. Pour ne pas créer de confusion, je vais directement remplacer le nombre d'onde que tu notes K par (/c). Si la situation à modéliser correspond approximativement au schéma de mon message du 20-03-17 à 14:08, la force de pression est p.S et non -p.S ; tu peux revoir aussi la démonstration de l'impédance acoustique (lien fourni) ; d'où la relation fondamentale de la dynamique :

$m.a=-k.x-f'.v+p.S+F_{m}.\cos\left(\omega.t\right)$

$j.\omega.m.\underline{v}=\frac{k}{j.\omega}.\underline{v}-\left(f'+\frac{j.\rho.S.c}{\tan\left(\frac{2\pi.l.f}{c}\right)}\right).\underline{v}+\underline{F}\quad avec\quad\underline{F}=F_{m}.e^{j\omega.t}$
D'où l'impédance du dispositif :

$\underline{Z}=\frac{\underline{F}}{\underline{v}}=f'+\frac{-j.\rho.S.c}{\tan\left(\frac{\omega.l}{c}\right)}+j\left(m.\omega-\frac{k}{\omega}\right)$
Le phénomène de résonance correspond effectivement à une valeur nulle de la partie imaginaire de l'impédance.

$m.\omega-\frac{k}{\omega}-\frac{\rho.S.c}{\tan\left(\frac{\omega.l}{c}\right)}=0$

Avec dans ce contexte :

$\tan\left(\frac{\omega.l}{c}\right)\approx\frac{\omega.l}{c}\quad et\quad\omega=2\pi.f$

Cela conduit à une fréquence de résonance :

$\boxed{f=\frac{1}{2\pi}\cdot\sqrt{\frac{k+\frac{\rho.S.c^{2}}{l}}{m}}}$

Posté par re : Résoance dans tube particulier 09-09-17 à 12:08

Merci de votre réponse
J'ai par contre du mal a comprendre comment vous passez de
$m.a=-k.x-f'.v+p.S+F_{m}.\cos\left(\omega.t\right)$
a
$j.\omega.m.\underline{v}=\frac{k}{j.\omega}.\underline{v}-\left(f'+\frac{j.\rho.S.c}{\tan\left(\frac{2\pi.l.f}{c}\right)}\right).\underline{v}+\underline{F}\quad avec\quad\underline{F}=F_{m}.e^{j\omega.t}$
puis
$\underline{Z}=\frac{\underline{F}}{\underline{v}}=f'+\frac{-j.\rho.S.c}{\tan\left(\frac{\omega.l}{c}\right)}+j\left(m.\omega-\frac{k}{\omega}\right)$

Pouvez vous détailler svp?

Je sais qu'il est long de taper le détail a l'ordinateur, n'hésitez pas a le faire sur papier et poster une photo si cela est plus simple pour vous.

Posté par re : Résoance dans tube particulier 09-09-17 à 15:44

En régime sinusoïdal, tu as sûrement vu en cours que le complexe associé à la dérivée par rapport au temps d'une grandeur sinusoïdale s'obtient en multipliant la grandeur complexe associée par j. Ici :

$v=\frac{dx}{dt}\quad donc\quad\underline{v}=j.\omega.\underline{x}$

$a=\frac{dv}{dt}\quad donc\quad\underline{a}=j.\omega.\underline{v}$

En électrocinétique et en régime sinusoïdal, on définit l'impédance Z comme un quotient (tension)/(intensité). Lorsque l'on étudie un circuit RLC série puis lorsqu'on passe en mécanique à l'étude d'un oscillateur en régime sinusoïdal avec force de frottement proportionnel à la vitesse, on obtient des formules très analogues à condition de remplacer la tension par la force et l'intensité par la vitesse. On définit donc l'impédance mécanique comme un quotient (force)/(vitesse) :

$\underline{Z}=\frac{\underline{F}}{\underline{v}}$

Reste le problème plus délicat de l'impédance acoustique du tuyau. L'impédance n'est pas le quotient (force)/(vitesse) mais le quotient (pression)/(vitesse). Si on note $\underline{Z_{a}}=\frac{\underline{p}}{\underline{v}}$ l'impédance acoustique complexe du tuyau sonore au niveau de la membrane, on obtient bien une force pressante exercée sur la membrane par l'air du tuyau ayant pour complexe associée :

$\underline{p}.S=S.\underline{Z_{a}}.\underline{v}$

Je ne suis pas certain que la démonstration de l'impédance acoustique d'un tuyau sonore soit à ton programme. En plus, cette impédance dépend de la modélisation choisie, en particulier des conditions aux limites : tuyau ouvert ou fermé... Je t'ai déjà fourni un lien sur le sujet. Tu peux sans doute admettre la formule suivante qui, semble-t-il, a été validée par ton professeur :

$\underline{Z_{a}}=\frac{-j.\rho.c}{\tan\left(\frac{\omega.l}{c}\right)}$

Logiquement, avec ces indications, tu devrais t'en sortir...

Posté par re : Résoance dans tube particulier 09-09-17 à 15:50

J'aurai aimé garder la denomination donnée par mon directeur..
J'ai repris l'équation, je comprend une bonne partie, mais je bloque sur certains points ..

$z2= (z1-j.tan(K.l))/(1-j*z1 * tan(Kl))$

Or : z1 tend vers l'infini donc on peut dire
$z2= z1/(-j*z1*tan(Kl))$

Apres j'ai

$Ztot=Zm-S*\rho *c*z2$

Mais je ne vois pas d'ou ça vient...

ensuite j'ai

$Ztot=f'+j(m.\omega -k/\omega -(S.\rho *c)/tan(Kl)$

qui provient de $Ztot= Zm + z2$

c'est ça?

Posté par re : Résoance dans tube particulier 09-09-17 à 16:15

Citation :

$z2= (z1-j.tan(K.l))/(1-j*z1 * tan(Kl))$

Que représentent z1 et z2 ici ?
Cette formule a -t-elle été démontrée en cours ?
Je t'ai fait une démonstration logique en appliquant simplement la relation fondamentale de la dynamique à la membrane. Ma démonstration présente cependant un point faible : elle demande d'admettre l'expression de l'impédance acoustique du tuyau. Si ton professeur a fait une démonstration structurée de cette expression, utilise-là bien sûr. Sinon, fais comme tu veux : tu dois de toutes façon admettre quelque chose pour arriver au résultat final qui est identique dans les deux cas...

Posté par re : Résoance dans tube particulier 09-09-17 à 17:47

Non je ne suis pas ici sur des sujet qui ont étaient vus en cours, il s'agit de chose hors programme mais que j'ai besoin pour mon mémoire.

Oui, en fait mon professeur a valider l'ensemble de mes calcules y il y a plusieurs mois, mais maintenant je dois les intégrer a mon mémoire et les expliquer, c'est la que ça coince, j'ai du mal a me rappeler comment on passe d'une ligne a l'autre..

Je pense que z1 correspond a l'impédance en x1 et z2 a celle en x2.

Posté par re : Résoance dans tube particulier 09-09-17 à 17:53

z1 et z2 ne désigne sûrement pas des impédances mais des grandeurs sans dimensions. Pour obtenir une impédance acoustique, il faut multiplier z1 ou z2 par .c

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