Niveau école ingénieur

Représenter mathématiquement une charge ponctuelle.

Posté par
souki 17-11-13 à 22:21

Bonsoir à tous,

je lis dans plusieurs articles que la distribution de Dirac permet de représenter mathématiquement une charge ponctuelle. Seulement, j'ai plein de questions. La charge n'est elle plus représentée par son vecteur position ? Que représente concrètement la distribution de Dirac en un point a ? Il y a l'égalité suivante : $-\Delta \big ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 ||x-a|| }\big )=\frac{1}{\epsilon_0}\delta_a$ (dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^3)$ ), peut on en tirer des conclusions en ce qui concerne la représentation des charges ponctuelles ?

Cordialement.

Posté par re : Représenter mathématiquement une charge ponctuelle. 17-11-13 à 23:20

Bonsoir,

Si tu n'es pas familier de la théorie des distributions, ce qui va suivre va te paraître relativement insipide :

$\boxed{\cdot}$ si $a$ est un point de l'espace (ie $\mathbb{R}^3$ ), alors $\delta_a$ est la distribution de Dirac, c'est-à-dire une forme linéaire continue sur l'espace des fonctions de classe $\mathcal{C}^\infty$ à support compact $\mathcal{D}(\mathbb{R}^3)$ , qui vérifie :

$\forall\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^3),\ \delta_a(\varphi)=\langle \delta_a,\varphi\rangle=\varphi(a)$ .

Ainsi, à une fonction-test $\varphi$ , $\delta_a$ y associe sa valeur en $a$ . Une telle fonction, au sens commun, n'existe pas, c'est pour cela qu'on se tourne vers les distributions.

Quel est le rapport avec une charge ponctuelle placée en $a$ ? Si on considère $\delta_a$ en tant que mesure borélienne, alors $\delta_a$ ne charge que le singleton $\{a\}$ : $\delta_a(\{a\})=1$ et si $P\subset\mathbb{R}^3$ ne contient pas $a$ , alors $\delta_a(P)=0$ . $\delta_a$ permet donc de localiser le point $a$ , c'est-à-dire le vecteur position $\vec{OA}$ .

$\boxed{\cdot}$ En dimension 3, la fonction $f(x):=\dfrac{1}{||x||}$ est solution de l'équation de Laplace

$-\Delta f=4\pi\delta_0$ .

Or le potentiel $V(\vec{r})$ est solution de l'équation de Laplace

$-\Delta V(\vec{r})=\dfrac{\rho(\vec{r})}{\varepsilon_0}$ .

On peut donc faire une analogie entre d'une part le potentiel engendré par une charge ponctuelle placée en $a$

$V(\vec{r})=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0||\vec{r}-\vec{a}||}$

et la distribution de charges représentée par la distribution de Dirac

$\rho(\vec{r})=q\delta_{\vec{a}} (\vec{r})$

Et là tout devient clair, si on prend une partie de l'espace $P$ qui ne contient pas $\vec{a}$ , alors $\rho(P)=0$ . Sinon, ie si $\vec{a}\in P,\ \rho(P)=q$ .

Posté par re : Représenter mathématiquement une charge ponctuelle. 24-11-13 à 09:34

Merci d'avoir pris le temps de me répondre.
Donc en gros, comme tu l'as dit, la distribution permet d'isoler le point A où est placée la charge. Une petite précision, quand on considère $\delta_a$ comme une mesure borélienne, c'est dans le sens suivant : $\delta_a(P)=<\delta_a,\chi_P>$ ?
Mais dans ce cas, il faut que P soit borné car $supp(\chi_P)=\overline{P}$ .

Posté par re : Représenter mathématiquement une charge ponctuelle. 24-11-13 à 17:19

En fait non : ce serait bizarre que ça ne fonctionne pas pour des parties non bornées.

En tant que mesure borélienne c'est toujours bon.

Ensuite pour l'équivalence au niveau des distributions, c'est pas tant le fait que $\chi_P$ ne soit pas à support borné le problème mais plutôt le fait que $\xi_P$ ne soit même pas continue... (et donc a fortiori pas $\mathcal{C}^\infty$ ).

Ce qu'on fait, c'est qu'on procède par une régularisation par convolution : on pose $\large\chi_P^\varepsilon:=\rho_\varepsilon*\chi_P$ où $\large(\rho_\varepsilon)_{\varepsilon>0}$ est une suite régularisante :

$\large\rho_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-3}\rho(x/\varepsilon),\ \forall x\in\mathbb{R}^3$

$\large\mathrm{supp}(\rho)\subset\overline{\mathcal{B}}(0,1)\ (\mathrm{ce\ qui\ implique\ que}\ \mathrm{supp}(\rho_\varepsilon)\subset\overline{\mathcal{B}}(0,\varepsilon))$

$\large\rho\in\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^3)$

De cette façon, on a

$\large1)\ \chi_P^\varepsilon\in\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^3)$

$\large2)\ \chi_P^\varepsilon\ \mathrm{converge\ \simplement\ vers}\ \chi_P\ \mathrm{quand}\ \varepsilon\ \mathrm{tend\ vers\ 0}$

On a en outre :

$\large\mathrm{supp}(\chi_P^\varepsilon)\subset\overline{\mathrm{supp}(\rho_\varepsilon)+\mathrm{supp}(\chi_P)}$

ce qui ne règle pas le cas du support non borné mais ça c'est pas un problème :

en effet, comme $\mathrm{supp}(\delta_a)=\{a\}$ , $\delta_a$ est une distribution à support compact, c'est-à-dire un élément de $\mathcal{E}(\mathbb{R}^3)=\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^3)\supset\mathcal{D}(\mathbb{R}^3)$ .

(Voir à ce sujet la définition du support d'une distribution).

Posté par re : Représenter mathématiquement une charge ponctuelle. 25-11-13 à 15:49

Pour l'avant dernière ligne, il faut lire :

" $\delta_a$ est une distribution à support compact, c'est-à-dire un élément de $\mathcal{E}'(\mathbb{R}^3)=\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^3)'\subset\mathcal{D}'(\mathbb{R}^3)$ "

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