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Repère de Frenet

Posté par
Samuel7 01-04-21 à 13:26

Bonjour,
On me demande d'exprimer,dans le repère de Frenet, la rayon de courbure en fonction de \vec{v} et \vec{a}. Je sais que \vec{a}=\frac{dv}{dt}\vec{u_{t}}+\frac{v^{2}}{R_{c}}\vec{u_{n}}
Après transformations j'obtiens ceci:
Rc=\frac{(\frac{\vec{v}}{\vec{u_{n}}})^{4}}{v^{2}\vec{u_{n}(\vec{a}-\frac{dv}{dt}\vec{u_{t}})}}
[/tex]

Or il m'est indiqué que \vec{v}=v\vec{u_{n}} donc
Rc=\frac{(\frac{\vec{v}}{\vec{u_{n}}})^{4}}{v^{2}\vec{u_{n}(\vec{a}-\frac{dv}{dt}\vec{u_{t}})}}
Est-ce juste?
Merci d'avance.

Posté par
Samuel7re : Repère de Frenet 01-04-21 à 13:29

Samuel7 @ 01-04-2021 à 13:26


Rc=\frac{(\frac{\vec{v}}{\vec{u_{n}}})^{4}}{v^{2}\vec{u_{n}(\vec{a}-\frac{dv}{dt}\vec{u_{t}})}}

Désolé à ce niveau j'ai plutôt l'expression\frac{v^{4}}{v^{2}\vec{u_{n}(\vec{a}-\frac{dv}{dt}\vec{u_{t}})}} avant de remplacer le numérateur dans l'expression qui suit.

Posté par
gts2re : Repère de Frenet 01-04-21 à 14:25

Bonjour,

La question est "en fonction de \vec{v} et \vec{a}", or votre résultat dépend de tas d'autres choses.

Si vous effectuez le produit scalaire  \vec{v} \cdot \vec{a}, vous obtenez quoi ?

Posté par
gts2re : Repère de Frenet 01-04-21 à 14:30

Une autre remarque de forme : vous écrivez des divisions vectorielles ! (certes la notion existe, mais cela est hors du sujet)

Au numérateur, il y a, je suppose une erreur de parenthèses Latex (vous avez deux flèches superposées). \frac{v^4}{v^2\vec{u_n}\left(\vec{a}-\frac{dv}{dt}\vec{u_t}\right)}

Posté par
Samuel7re : Repère de Frenet 01-04-21 à 14:44

\vec{v}.\vec{a}=v.\vec{u_{t}}.(\frac{dv}{dt}\vec{u_{t}}+\frac{v^{2}}{R_{c}}\vec{u_{n}})=\frac{dv}{dt}.v+\frac{v^{3}}{R_{c}}\vec{u_{t}}.\vec{u_{n}}

Posté par
Samuel7re : Repère de Frenet 01-04-21 à 14:48

Ah oui c'était une erreur pour l'expression que j'avais écrite.
Désolé aussi  \vec{v}=v\vec{u_{t}} et non ce que j'avais écris dans l'énoncé.

Posté par
Samuel7re : Repère de Frenet 01-04-21 à 14:51

Samuel7 @ 01-04-2021 à 14:44

\vec{v}.\vec{a}=v.\vec{u_{t}}.(\frac{dv}{dt}\vec{u_{t}}+\frac{v^{2}}{R_{c}}\vec{u_{n}})=\frac{dv}{dt}.v+\frac{v^{3}}{R_{c}}\vec{u_{t}}.\vec{u_{n}}

v est constante donc \frac{dv}{dt}v=0
Comment exprimer \vec{u_{t}}.\vec{u_{n}} svp?

Posté par
gts2re : Repère de Frenet 01-04-21 à 15:31

\vec{u_t}\cdot \vec{u_n} ?
t est pour tangent, n est pour normal, donc le produit scalaire vaut ?

Sinon excusez-moi, comme  \vec{v}=v\vec{u_t}, c'est plutôt \vec{a}\wedge \vec{v} qui est utile de calculer : le but est de débarrasser de \frac{dv}{dt}

Posté par
gts2re : Repère de Frenet 01-04-21 à 15:32

Citation :
v est constante

Ce n'était pas dans l'énoncé initial, c'est bien le cas ?

Posté par
Samuel7re : Repère de Frenet 01-04-21 à 16:34

gts2 @ 01-04-2021 à 15:32

Citation :
v est constante

Ce n'était pas dans l'énoncé initial, c'est bien le cas ?

gts2 @ 01-04-2021 à 15:32

Citation :
v est constante

Ce n'était pas dans l'énoncé initial, c'est bien le cas ?

Il est juste dit que v est le module du vecteur vitesse dans le repère de coordonnées cartésiennes.

Posté par
gts2re : Repère de Frenet 01-04-21 à 17:51

OK, donc \frac{dv}{dt} n'a pas de raison d'être nul.

Posté par
Samuel7re : Repère de Frenet 03-04-21 à 16:34

Bonsoir. Je suis revenu sur l'exercice aujourd'hui et j'obtiens ceci avec votre indication:
\vec{a}\wedge \vec{v}=(v\vec{u_{t}})\wedge (\frac{dv}{dt}\vec{u_{t}}+\frac{v^{2}}{R_{c}}\vec{u_{n}})=(v\vec{u_{t}}\wedge \frac{dv}{dt}\vec{u_{t}})+(v\vec{u_{t}}\wedge \frac{v^{2}}{R_{c}}\vec{u_{n}})

\vec{a}\wedge \vec{v}=v\frac{dv}{dt}sin(\vec{u_{t}},\vec{u_{t}})+\frac{v^{3}}{R_{c}}sin(\vec{u_{t}},\vec{u_{n}})=\frac{v^{3}}{R_{c}}

donc  R_{c}=\frac{v^{3}}{\vec{a}\wedge \vec{v}}
J'espère que c'est bon ainsi

Posté par
gts2re : Repère de Frenet 03-04-21 à 16:56

On y est presque : deux problèmes
- on ne divise pas par un vecteur
- les équations doivent être homogènes vectoriellement

Remarque plus générale : raisonnez vectoriellement le plus longtemps possible, donc \vec{u_t}\wedge\vec{u_t}=\vec{0}, car deux vecteurs parallèles

\vec{a}\wedge \vec{v}=v\vec{u_t}\wedge (\frac{dv}{dt}\vec{u_{t}}+\frac{v^{2}}{R_{c}}\vec{u_{n}}), et \vec{u_t}\wedge\vec{u_n}=\vec{u_B} vecteur unitaire.
\vec{a}\wedge \vec{v}=\frac{v^{3}}{R_c}\vec{u_B}, donc on prend la norme
R_c=\frac{\mid \vec{v}\mid ^3}{\mid \vec{a}\wedge \vec{v} \mid }

Posté par
Samuel7re : Repère de Frenet 03-04-21 à 17:11

D'accord. Merci beaucoup pour votre aide!


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