Bonjour
Quelle intégrale as-tu posée pour calculer Q^- : la charge totale du nuage électronique.Une fois cela fait, la suite est facile.

J'ai utilisé l'intégrale triple :
Je travaille en coordonnées sphériques centré en O :  dδ=(dr)(rdθ)(rsinθdφ)=r²sinθdr.dθ.dφ
Q-=sinθdr.dθ.dφ
j'ai fait varier r entre a (le rayon du noyau) et b (une valeur supérieur à ce rayon , distance à laquelle se limiterait le cortège électronique) puisque r>a (pour le cortège électronique) l'angle θ varie entre 0 et π et φ  varie entre 0 et 2π .

J'obtiens donc
Q-= .

Et si telle est la valeur de Q- , elle devrait être négative.
L'expression qui est entre parenthèse est positive , 4π également.
Si on suppose A et n , constantes positives , pour que Q- soit négatif , il faudrait que 3-n soit négatif:
3-n<0 <=> n>3.

Tu y es presque... la charge négative totale est comprise entre la sphère de rayon a et la sphère de rayon b tendant vers l'infini. En effet, il faut englober tout l'espace entourant le noyau même si, en pratique, la densité surfacique de charge devient négligeable quand r devient grand par rapport à ”a”. De plus la structure est électriquement neutre comme tu l'as écrit. Cela conduit à :



Le fait que cette limite soit finie impose la condition sur ”n”. La valeur de la limite impose une condition sur ”A”.

Je te laisse continuer.

Je n'arrive vraiment pas à interpreter le fait que la limite soit finie...
Pour la condition sur A:
les valeurs a et b varient d'un atome à un autre (et  Z aussi) , la charge élémentaire vaudrait 4πA /(n-3).
e=4πA/(n-3)

On peut envisager trois cas :
n=3 : impossible physiquement pour deux raisons :
*  Q- ne dépend plus de b alors que dépend de r ;
* le numérateur et le dénominateur de l'expression de Q- sont tous deux nuls : Q- n'est pas définie, ce qui est physiquement absurde.
n<3 : l'exposant de b est positif. La limite de Q- quand b tend vers l'infini est donc selon le signe de "A" : résultat impossible. Reste donc :
n>3 : l'exposant de b est négatif. La limite de b^(3-n) quand b est nulle. Ainsi :


Résultat physiquement acceptable permettant d'obtenir la valeur de "A".

D'accord:
la valeur de A est donc A=

OK ; comme tu l'avais prévu, cela conduit bien à A<0.

Je pense qu'on ne peut pas avoir une valeur numérique de A.
Voici ce que je trouve pour le champ E(r) en M.
M est dans le cortège électronique (r>a).
E(r) est la somme des champs créés par le noyau et la distribution continue de charge du cortège. Le champ crée par la charge contenue dans le noyau en m est En=(k.Z.e/r²) suivant le vecteur unitaire e_r.

Pour le champ Ee créé par le cortège en M, j'ai pensé à utiliser le théorème de Gauss. Le flux total à travers la surface de Gauss qui est une sphère de rayon r centré en O est Ee.4π.r² .
J'ai pris comme charge intérieure Qint=4πA/((n-3)a^(n-3))

Ainsi suivant le vecteur unitaire e_r, le champ en M est E=(k.Z.e/r²) + A/(ε.r²(n-3)a^(n-3)).

Il faut remplacer k par 1/(4_o) afin de pouvoir simplifier.
Pour déterminer le vecteur champ électrique, tu  peux effectivement appliquer le principe de superposition ; il est peut être plus simple de déterminer la charge électrique totale intérieure à la sphère de rayon "r" quelconque mais supérieur à "a". Cela revient à ajouter à la charge du noyau Z.e la charge négative comprise entre les sphères de rayon a et de rayon "r". Il faut donc reprendre l'expression de Q- en remplaçant b par r : Cela donne une charge intérieure totale à la sphère de rayon r :


Expression à simplifier en tenant compte de l'expression de "A". Reste alors pour obtenir l'expression de E_(r) à appliquer le théorème de Gauss à la sphère de rayon r.
PS :
1° : es-tu bien sûr de la phrase suivante :

Et je trouve Qint=
Ainsi suivant le vecteur unitaire e_r, .

En ce qui concerne l'énoncé, ce serait justement des erreurs d'énoncé...
Voici l'énoncé en question:



_{malou edit > ** image tournée**rafraîchir la page **}

D'accord avec ton expression de E pour r>a. Elle peut aussi s'écrire :



Concernant l'énoncé :

* il faut lire : ”rayon du noyau : a=10-14m”

* je te laisse exprimer le potentiel V en fonction de r : tu ne vas pas trouver, contrairement à ce que prévoit l'énoncé, un potentiel proportionnel à la densité volumique de charge. Cela peut se retrouver à partir de l'équation différentielle de Poisson que doit vérifier V mais je ne sais pas si cette équation différentielle est à ton programme. Il n'est donc pas possible de terminer ce problème.

Puisque le champ dépend seulement de r, je trouve que le potentiel en M vaut :
.

Comme il n'y a pas de charge à l'infini (voir premiers messages), tu peux choisir la constante C de sorte que V tende vers zéro quand r tend vers l'infini. Tu vas alors constater que V est proportionnel à r^2-n alors que est proportionnel à r^-n. Il n'est donc pas possible de choisir n de sorte que : =K.V  r > 0...
Impossible donc de continuer le problème...
Si l'équation de Poisson est à ton programme, tu peux vérifier que l'expression de V ainsi obtenue est bien solution de cette équation différentielle.

Okay d'accord.

Oui, l'équation de poisson est bien dans mon programme. L'expression de V obtenue vérifie ladite équation différentielle. En effet, j'ai pu montré que le laplacien scalaire de V est égal à -ρ/ε₀ .

Merci bien.

Parfait !