Niveau école ingénieur

Régime Transitoire, Second Ordre

Posté par
TeLeSia 29-12-15 à 09:41

Bonjour à tous!

J'ai pas mal bossé sur l'exo que je vais vous proposer, mais je me rends compte que j'ai vraiment des lacunes concernant les circuits RLC et leurs équations différentielles.

En voilà l'énoncé, suivi des quelques éléments de réponse que j'ai pu trouver :

Soit le circuit suivant monté avec les composants suivants:
-Un générateur E=5V
-Une bobine L=0,1 H et de résistance interne r=10 ,
-Un condensateur de capacité C=0,1 F

Le condensateur est initialement déchargé.

A t=0, on abaisse l'interrupteur K₁

(Je n'ai pas pu vous joindre une copie du circuit, mais il n'est pas très compliqué. Dans l'ordre, le générateur, l'interrupteur, la bobine, la résistance, le condensateur, branchés en série)

J'ai noté u la tension du condensateur, u_R celle de la résistance, et u_L celle de la bobine.

1) Montrer que l'équation différentielle de ce circuit est donnée par $d²u/dt²+r/L du/dt+u/LC=E/LC$

Sur cette question, aucun problème : la loi des mailles et les relations tension-intensité nous donnent tout.

2) On pose u=ke^xt, donner l'équation caractéristique.

Bon, j'ai trouvé une équation caractéristique : $x^2+r/L x+1/LC=0$
Mais je n'ai pas trouvé l'utilité de remplacer u par ke^xt.
...
Pour tout vous dire, c'est assez idiot, car je viens à peine -en tapant mon post-, de me rendre compte que c'était simplement la solution de l'équation homogène, n'est-ce pas ?

3) Déterminer le discriminant de l'équation caractéristique et démontrer que ()=jw₀, avec w₀=1/(LC)

J'ai un discriminant négatif, aux environs de -4.10⁸
Donc pas de solutions réelles, mais des solutions complexes conjuguées (d'ici, je vois à peu près ce qu'il faut faire pour trouver le résultat voulu).
Si on réécrit l'équation avec w₀, on a :
x^2+w_0/Q x+w_0^2=0
Et j'obtiens un assez étrange : (w_0/Q)^2-4w_0 ²

Là, je bloque...

La suite des questions ne parait pas très compliquée : on nous demande la déduction de la solution générale, ainsi qu'une allure de courbe. Je pense que je vais me débrouiller pour la fin de l'exo.
Mais pour ça, j'ai beosin de cette question 3.

Je vous serai très reconnaissante si vous pouviez m'aider.
Merci d'avance,

Cordialement,
Telesia

Posté par re : Régime Transitoire, Second Ordre 29-12-15 à 14:14

Bonjour,
Je ne sais pas s'il t'arrive de commettre des étourderies de calcul. En tous cas, pour éviter au maximum d'en commettre, il est souvent astucieux d'introduire des intermédiaires de calculs qui les simplifient.
Tu as donc tout intérêt à poser :
$\frac{R}{L}=2\lambda\quad\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
L'équation différentielle s'écrit ainsi :
$\frac{d^{2}u}{dt^{2}}+2\lambda\frac{du}{dt}+\omega_{0}^{2}u=0$
Le discriminant de l'équation caractéristique s'écrit ainsi :
$\varDelta=4\left(\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}\right)$
Tu dois comprendre maintenant l'intérêt d'avoir introduit un "2" dans l'expression de R/L ; les trois cas possibles de régime transitoire se déduire de la comparaison de à _o.
Dans le cas qui t'intéresse : < _o.
Les deux racines de l'équation caractéristiques sont deux complexes conjugués :
$-\lambda\pm j\omega\quad avec\qquad\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}}\text{ : pseudo-pulsation}$
Les solutions sont de la forme :
$u=\exp\left(-\lambda t\right)\left[A\cdot\cos\left(\omega t\right)+B\cdot\sin\left(\omega t\right)\right]=K\cdot\exp\left(-\lambda t\right)\cdot\cos\left(\omega t+\varphi\right)$
Les constantes A et B (ou au choix les constantes K et ) se déduisent des conditions initiales.

Posté par re : Régime Transitoire, Second Ordre 29-12-15 à 15:21

Merci beaucoup!

Je n'aurais pas pensé à l'introduction du 2, mais je ne pense pas oublier l'astuce de sitôt.

Merci pour votre temps,
La question, ainsi que la réponse, me paraissent plus claires.

En vous souhaitant une bonne soirée!

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