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Réaction opposée

Posté par
asap 02-11-15 à 22:08

Bonsoir,

J'ai un problème, je ne comprends pas comment le livre est arrivé au résultat, le cours ne donnant aucune démonstration.
On propose une réaction opposée :
a-->b de constante k1
b-->a de constante k-1
On pose A(t=0)=a0 et B(t=0)=b0
On a donc : d[A]/dt= -k1 [A]+ k-1 [B] et d[B]/dt= k1 [A] - k-1 [B]
Et le cours nous dit : On obtient deux équations différentielles couplées. Pour les résoudre on procède à un changement de variable en introduisant l'avancement de réaction A=B. Après résolution on obtient :
A(t)= k-1 (a0+b0)/(k1+k-1)+ (k1 a0 + k-1 b0) e (-(k1+k-1)t) /(k1+k-1)
B(t)= k1 (a0+b0)/(k1+k-1) - (k1 a0 - k-1 b0) e (-(k1+k-1)t) /(k1+k-1)

Je ne comprends pas comment arriver à ce résultat.

Merci de votre aide !

Posté par
vanoisere : Réaction opposée 02-11-15 à 22:35

Bonsoir,
A la date t quelconque, tu peux écrire :
[A]=ao-x ;[B]=bo+x ; Tu en déduis une équation différentielle :
dx/dt=k1(ao-x)-k-1(bo+x).
Tu résous cette équation différentielle ; ayant x(t), tu en déduis les concentrations en A et en B à la date t.

Posté par
asapre : Réaction opposée 05-11-15 à 22:04

Bonsoir,

merci pour votre indication vanoise.

Après intégration, je trouve donc :
x(t)= [k1a0-k-1b0-(k1a0-k-1b0)e-(k1+k-1)t]/k1+k-1

Soit après calcul :
A(t)=a0-x(t)
A(t)=k-1(a0+b0)/(k1+k-1)+(k1a0-k-1b0) e-(k1+k-1)t/(k1+k-1)

Sauf que dans l'énoncé on donne : A(t)=k-1(a0+b0)/(k1+k-1)+(k1a0+k-1b0) e-(k1+k-1)t/(k1+k-1)

Je ne vois pas où ai je fait l'erreur. On a bien dx/dt=k1a0-k1x-k-1b0-k-1x

En vous remerciant par avance.

Posté par
vanoisere : Réaction opposée 06-11-15 à 10:58

Bonjour,
Voici ce que j'obtiens :
\frac{dx}{dt}=k(a_{o}-x)-k'\left(b_{o}+x\right)=-\left(k+k'\right)x+ka_{o}-k'b_{o}
\text{avec : \ensuremath{k=k_{1}\text{ et :}}\ensuremath{k'=k_{-1}}}
\begin{cases} \\ \text{solution particulière :} & x_{p}=\frac{ka_{o}-k'b_{o}}{k+k'}\\ \\ \text{solution équation homogène :} & x_{h}=A.\exp\left[-\left(k+k'\right)t\right]\\ \\ \text{solution générale :} & x=\frac{ka_{o}-k'b_{o}}{k+k'}+A.\exp\left[-\left(k+k'\right)t\right]\\ \\ \text{cas particulier t = 0 :} & 0=\frac{ka_{o}-k'b_{o}}{k+k'}+A\\ \\ \text{cas général :} & x=\frac{ka_{o}-k'b_{o}}{k+k'}\left[1-\exp\left[-\left(k+k'\right)t\right]\right]\\ \\ \left[A\right]=a_{o}-x & \left[A\right]=\frac{k'\left(a_{o}+b_{o}\right)}{k+k'}+\frac{ka_{o}-k'b_{o}}{k+k'}\cdot\exp\left[-\left(k+k'\right)t\right] \\ \end{cases}
Soit la même chose que toi ! Pour détecter  des erreurs on peut tester l'homogénéité et le réalisme des résultats.
Pas de problème d'homogénéité dans les deux cas ; en revanche, le résultat donné par ton corrigé n'est pas cohérent pour au moins deux raisons :
1° : il ne conduit pas à [A]=ao à la date t = 0 ;
2° : le cas particulier kao = k'bo est le cas particulier où la réaction AB et la réaction inverse BA ont la même vitesse ; si cette condition est remplie à la date t = 0, le système est à l'équilibre à cette date, donc il n'évolue pas au cours du temps : x = 0 t. Le terme devant l'exponentielle est donc (kao-k'bo) et non : (kao+k'bo) comme écrit dans ton corrigé...

Posté par
vanoisere : Réaction opposée 06-11-15 à 11:13

Citation :
Le terme devant l'exponentielle est donc (kao-k'bo) et non : (kao+k'bo) comme écrit dans ton corrigé...

À la réflexion cette phrase manque de nuance : j'ai démontré que ton corrigé est nécessairement faux, j'ai montré que notre solution est cohérente avec certains cas particuliers, je n'ai pas démontré que notre solution est correcte ; il aurait donc été préférable d'écrire :
"Le terme devant l'exponentielle peut donc être (kao-k'bo) et n'est certainement pas : (kao+k'bo) comme écrit dans ton corrigé...

Posté par
asapre : Réaction opposée 09-11-15 à 21:54

Merci beaucoup pour vos explications !


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