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Question en mécanique quantique

Posté par
EvDavid 22-04-19 à 15:28

Bonjour,

L'équation de Schrodinger pour deux particules ponctuelles de masses m_{1}
et m_{2} est \frac{-\bar{h}^{2}}{2\mu }\Delta \Psi +Ep(r)\Psi (\vec{r},t)=j.\bar{h}\frac{\partial \Psi }{\partial t} avec \vec{r}=\vec{A_{1}A_{2}} et \mu la masse réduite. On cherche une solution de l'équation de Schrodinger sous la forme \Psi (\vec{r},t)=\frac{R(r)}{r}Y(\theta ,\varphi )e^{-jwt}
En remplacant dans l'équation de Schrodinger on trouve que Y vérifie l'équation : \Delta _{ang}Y=-CY avec \Delta _{ang}f=\frac{1}{sin(\theta )}\frac{\partial }{\partial \theta }(sin\theta .\frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{sin^{2}\theta }\frac{\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}} et C est une constante.
Puis, en procédant encore une fois à une séparation de variables : Y(\theta ,\varphi )=\Theta (\theta )\Phi (\varphi ) nous trouvons l'existence d'une constante B telle que : \Phi ''-B\Phi =0
La question est de justifier le plus précisément possible le fait qu'à une constante multiplicative près on peut imposer \Phi(\varphi )=e^{jm\varphi } où m
Il n'y a aucune autre information à exploiter pour arriver à cela. La seule chose à laquelle je pense c'est la périodicité éventuelle de \Phi, mais je ne sais pas comment. Je veux dire, \Phi n'est à priori pas périodique. Et même si elle l'était, cela voudrait dire que B=-m2 avec m strictement négatif. Et \Phi est dans ce cas somme de deux exponentielles complexes et pas une seule, et on n'a pas de conditions aux limites pour éliminer l'une et garder l'autre...

J'espère que vous pourrez m'aider dans cette question, je pense que je manque d'un raisonnement de base pour pouvoir comprendre ce gendre de questions.

Merci d'avance.

Posté par
vanoisere : Question en mécanique quantique 22-04-19 à 18:11

Bonjour
Tu connais bien sûr le sens physique de la fonction d'onde et à quoi correspondent les angles et . Augmenter chacun de ses angles de 2k (k ), ne modifie pas la position du point dans l'espace donc ne doit pas modifier   d'où les périodicités... En pratique fait intervenir des fonctions trigonométriques de et .

Posté par
EvDavidre : Question en mécanique quantique 22-04-19 à 18:43

Bonsoir,

Oui j'en connais le sens physique. Moi j'avais un autre point de vue, c'est que les fonctions et servent à décrire la position d'un corps et vu que son mouvement est à priori aléatoire elles ne sont pas forcément périodiques. Je veux dire, si par exemple un point matériel décrit un cercle autour de l'aze Oz à une vitesse uniforme je pourrais dire que est périodique.
Mais sinon, c'est le \Phi ( grand phi ) qui doit être périodique dans la question et aussi je ne sais pas exploiter cette périodicité.

Merci d'avance,

Posté par
vanoisere : Question en mécanique quantique 23-04-19 à 00:01

Le carré de la fonction d'onde représente la densité de probabilité en un point donné à un instant donné ; donc augmenter et/ou d'un multiple de 2 doit laisser inchangée la fonction d'onde, d'où la périodicité. L'équation différentielle qui te gêne admet pour solution générale , suivant les valeurs de B, soit une combinaison linéaire de sinus et cosinus soit une combinaison linéaire de cosinus et sinus hyperboliques. Compte tenu de la périodicité évoquée...

Posté par
EvDavidre : Question en mécanique quantique 23-04-19 à 01:11

Bonsoir,

J'ai compris pour la périodicité, merci beaucoup pour vos explications.
Sinon, vu la périodicité on peut écrire B=-m2 avec m un entier non nul,  (car si B est strictement positif ou nul, la solution ne serait pas périodique ) , mais dans ce cas la solution est une combinaison de cosinus et sinus,et on ne connait pas les constantes, donc on peut pas écrire un seul terme en exponentielle complexe non ?

Merci d'avance,

Posté par
vanoisere : Question en mécanique quantique 23-04-19 à 09:46

Tu as raison ; la question n'est pas très bien posée. Il s'agit plutôt d'une combinaison linéaire de termes en exponentielle complexe.

Posté par
EvDavidre : Question en mécanique quantique 24-04-19 à 01:20

Je vois merci pour votre réponse. Déjà les deux questions ne sont pas essentielles au problème, juste de passage. J'ai une autre question ( une de passage aussi telle celle-ci ) que je n'arrive pas à résoudre. On trouve que \Theta vérifie l'équation différentielle : \frac{d}{d\theta }(sin\theta \frac{d\Theta }{d\theta })+(Csin\theta +\frac{B}{sin\theta })\Theta (\theta )=0. Dans la question ils disent qu'on peut montrer, et qu'on admettra, que les solutions de l'équation différentielle vérifiée par \Theta (\theta ) sont des polynômes de degré l avec l\geq \mid m\mid de la variable x=cos(\theta ) : \Theta (\theta )=a_{l}x^{l}+...+a_{1}x+a_{0}
En ne considérant que le terme de plus haut degré, exprimer C en fonction de l seulement.

Après changement de variables on trouve l'équation suivante : -l(l-1)+(2l^{2}+m^{2}-C)x^{2}+(C-l(l+1))x^{4}=0

Mais je ne sais pas conclure...

J'espère que vous pourrez m'aider avec cette question. Je ne comprends pas en réalité la question dans son fond...

Merci d'avance,

Posté par
vanoisere : Question en mécanique quantique 26-04-19 à 14:28

La résolution de cette équation différentielle n'a rien de simple. Elle fait intervenir les polynômes de Legendre... La majorité des cours de chimie fournissent les résultats sans détailler les calculs :
avec B=m2 ; C=l.(l+1) ; m avec |m|l.
Ce que j'ai trouvé de plus développé est ici :

Posté par
EvDavidre : Question en mécanique quantique 26-04-19 à 20:46

Bonsoir,

Je vous remercie pour votre réponse. Les calculs qui mènent à dire que C=l.(l+1) sont compliqués. Je cite ce que dit un corrigé pour justifier que C=l.(l+1) : << Du fait qu'on a approximé la solution \Theta par le terme de plus haut degré et que l'équation différentielle ne fait apparaître que des dérivées, seule le terme de plus haut degré est valide dans le cas général. Ainsi C=l.(l+1)>>
Mais je pense que cela n'a pas vraiment de sens...


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