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Quelle est la bonne chaînette ?
PierreMaas
Bonjour,
J'ai une chaîne ABCDE composée de quatre maillons ..
Je suspends cette chaîne dans un demi-cercle, comme indiqué sur la figure .. Je fais correspondre les points A , C et E de ma chaîne avec le cercle .. Il n'y a aucune difficulté à faire ça, ni impossibilité ..
Du fait de la gravité, ma chaîne ainsi suspendue décrit une courbe chaînette ..
Nous avons trois points de la chaînette, A , E , et C , qui sont sur le cercle ..
On considère que ces trois points sont maintenus fixes sur le cercle, et qu'ils peuvent pivoter sur place, décrivant eux-mêmes des cercles ..
Il y a deux autres points de la chaînette: le point B, et le point D ..
Le point B et le point D sont des articulations entre deux maillons ..
Comme les points A , E et C sont fixés, par rotation ils déterminent la position des points B et D .. Dans cette configuration le point D par exemple ne peut avoir que deux positions: D et D' , il ne peut pas être ailleurs .. Du fait de la gravité le point D' se positionne en D .. Idem pour le point B (et B') ..
La figure obtenue est sans conteste une chaînette, les cinq points-articulations de la chaîne en suspension et rotation stabilisée décrivent une courbe chaînette ..
Or il se trouve que cette figure "gravitationnelle" est également une figure géométrique toute simple, dont on peut calculer les angles: Â fait 60°, B^ fait 150° , et ^C fait 120°..
Nous nous retrouvons avec une chaînette quatre maillons, de corde 2 flèches, avec un angle au sommet de 120° et deux autres angles de 150° ..
Mais il y a un problème .. Le problème c'est que la chaînette standard Leibnitz Bernoulli quatre maillons de corde 2 flèches n'a pas un angle au sommet de 120°, ni des angles latéraux de 150° .. La chaînette officielle Leibnitz Bernoulli, de corde deux flèches, a un angle au sommet de deux fois 60,567° , et des angles latéraux de 148,864° .. ça fait quand-même quelques degrés d'écart .. Dans l'espace avec des fusées ça peut faire des milliers de kilomètres .. La question est: quelle est la bonne chaînette ?
J'ai compris où mon raisonnement foire un tout petit peu: rien ne prouve vraiment que l'angle ^BCD fasse 120° pile, et ^CDE fasse 150° pile .. Ce qui me pousse à penser que ces angles sont bons, c'est qu'avec eux la figure est hyper symétrique, et que l'hyper symétrie peut être le signe d'un équilibre parfait ..
Vous en pensez quoi ?
Bonjour,
Avec votre dessin, donc des maillons de longueur , je trouve bien des angles de 60° et 120°.
Donc le problème se trouve plutôt au départ : B et D n'ont aucune raison de se trouver sur une chainette passant en AEC (enfin je crois...).
Un lien pour "La chaînette ... , de corde deux flèches, a un angle au sommet de deux fois 60,567° , et des angles latéraux de 148,864°" ?
Autre solution : je n'ai pas compris le problème.
Bonjour,
En prenant le repère orthonormé d'origine au centre du demi cercle et de rayon R = 1 (pour faciliter les calculs. axe des abscisse suivant OE et ordonnées verticales vers le haut
On a A(-1;0), B(1;0) et C(0;-1). Il existe une seule chainette qui a ses extrémité fixée en A et B et qui passe par C, son équation est :
y = 0,618759.cosh(x/0,618759) - 1,618759
Il devrait avoir là ce qu'il faut pour montrer que les points B et C ne sont pas avec les angles indiqué sur la chainette.
Tu as l'équation de la chainette, on trouve aussi facilement l'équation de la droite CD (qui passe par D connu) de dont on connait la pente par l'angle de 120° indique et la symétrie... donc on peut trouver les coordonnées de D ... et puis vérifier si on obtient alors |CD| = |DE|
Y-a plus qu'à ...
Rebonjour,
J'ai effectué les calculs préconisés dans ma précédente réponse … et on trouve :
D(0,6519 ; -0,6236)
|CD| = 0,7528
|DB| = 0,7142
On na donc pas CD = DB et donc les points A,B,C,D,E ne sont pas sur une même chainette si les angles notés sur l'énoncé sont pris en considération.
Merci pour vos réponses ..
Oui ma question est très mal formulée et très confuse ..
Je sais que le dessin avec les angles que je donne ne rentre pas dans le cadre de la chaînette conventionnelle .. Et je me demande si la courbe chaînette officielle, telle que dessinée par exemple par GeoGebra, est une chaînette à 100% ou seulement une approximation de chaînette ..
Concernant mon dessin, est-ce qu'il peut être résolu par la statique ? Autrement dit, est-ce que la statique peut résoudre les angles que prendront les quatre maillons d'une chaîne réelle inscrite en trois points d'un demi-cercle, tel que montré dans la figure ?
Bonjour,
Quand vous demandez à Geogebra de tracer ch(x), il trace ch(x) qui est par définition une chainette. Je ne comprends pas la distinction avec la chainette officielle.
Pour ce qui est de la résolution par la statique, cela doit être faisable, mais lourd ; en passant par le minimum de l'énergie potentielle, c'est moins lourd, mais plus abstrait (minimum sous contrainte : la distance AB est imposée). On trouve bien les angles que vous indiquez.
Bonjour,
Une chaînette est la courbe que prend un fil (ou une chaîne) homogène, flexible et inextensible, suspendu entre deux points et soumis à son propre poids.
Son équation générale est : y(x) = a.ch((x-xo)/a) + yo
a est un paramètre physique égal au rapport H/w (tension horizontale/poids linéique).
xo et yo sont des constantes de translation.
Donc :
l'équation x = ch(x) est bien celle d'une chainette MAIS c'est une chainette particulière avec a = 1 et xo = yo = 0
C'est la chaînette dite "unitaire" (avec a = 1) c'est à dire que la tension horizontale est égale au poids linéïque, la courbe est centrée sur l'axe des ordonnées xo = 0 et la courbe n'est pas décalée verticalement (yo = 0)
On ne peut donc pas considérer que y = ch(x) peut représenter LA chainette correspondant à des caractéristiques particulières.
Dans le cas de l'exercice, la chaînette DOIT passer par des points imposé (A(-1;0), B(1;0) et C(0;-1)) avec le repère tel que je l'ai dessiné sur ma réponse.
Et l'équation est alors : y = 0,618759.cosh(x/0,618759) - 1,618759
Si mes calculs sont exacts, les valeurs des angles sont:
Avec les notations du dessin message initial :
En A et E : 60,51°
En C : 121,98 °
En B et D : 148,5°
Aux imprécisions près dues aux arrondis en cours de calculs.
Ils sont imposés par la Physique. L'énergie potentielle de pesanteur de l'ensemble ABCDE doir être minimal.
"Pour la résolution par le minimum de l'énergie potentielle (minimum sous contrainte : la distance AB est imposée), on trouve bien les angles que vous indiquez".
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gts2, si les angles de mon dessin sont résolus par le minimum de l'énergie potentielle, cela signifie-t-il que mon dessin représente une chaînette en équibre ?
Oui, mais une chainette physique réelle avec des maillons, et B et D ne sont pas sur la chainette mathématique passant par AEC.
gts2, une chaîne physique réelle avec des maillons est une chaînette mathématique ..
On peut considérer que la courbe chaînette mathématique est constituée d'une multitude de maillons droits, mais si petits que ces maillons droits semblent des points ..
une chaîne physique réelle avec des maillons est une chaînette mathématique
Si on est dans le réel, une chaine physique est approximativement une chainette mathématique.
Disons que le milieu des maillons est approximativement sur une chainette (ce qui me parait plus sûr que les extrémités).
gts2, on dispose de deux chaînettes: une première chaînette courbe mathématique cosh (x), et une deuxième chaînette physique réelle constituée de quatre maillons égaux ..
Pour obtenir la première chaînette mathématique je dessine sur un mur la courbe chaînette mathématique dont la corde vaut deux flèches ..
Je viens sur cette courbe mathématique dessinée sur le mur et je plante deux clous aux extrémités de la corde de cette chaînette mathématique ..
A ces deux clous je suspends mes quatre maillons physiques réels et je fais en sorte que le point le plus bas de mes quatre maillons coïncide avec le point le plus bas de la chaînette mathématique dessinée sur le mur ..
J'ai donc trois points de chaque chaînette qui coïncident .. Du coup obligatoirement les deux autres points restants (articulations latérales des maillons réels) coïncident aussi avec la chaînette dessinée .. Il ne peut pas y avoir trois points qui coïncident et deux autres qui ne coïncident pas, donc obligatoirement les cinq points de ma chaînette matérielle sont aussi sur la chaînette mathématique dessinée .. Donc les articulations d'une chaînette physique en suspension dessinent bien une chaînette mathématique cosh (x) ..
gts2, on dispose de deux chaînettes: une première chaînette courbe mathématique cosh (x), et une deuxième chaînette physique réelle constituée de quatre maillons égaux ..
Pour obtenir la première chaînette mathématique je dessine sur un mur la courbe chaînette mathématique dont la corde vaut deux flèches ..
Je viens sur cette courbe mathématique dessinée sur le mur et je plante deux clous aux extrémités de la corde de cette chaînette mathématique ..
A ces deux clous je suspends mes quatre maillons physiques réels et je fais en sorte que le point le plus bas de mes quatre maillons coïncide avec le point le plus bas de la chaînette mathématique dessinée sur le mur ..
J'ai donc trois points de chaque chaînette qui coïncident .. Du coup obligatoirement les deux autres points restants (articulations latérales des maillons réels) coïncident aussi avec la chaînette dessinée .. Il ne peut pas y avoir trois points qui coïncident et deux autres qui ne coïncident pas, donc obligatoirement les cinq points de ma chaînette matérielle sont aussi sur la chaînette mathématique dessinée .. Donc les articulations d'une chaînette physique en suspension dessinent bien une chaînette mathématique cosh (x) ..
Bonjour,
Tu est têtu, mais les lois de la physique le sont encore plus.
Soit la cotbe y = ch(x), on plante les articulations du haut en (-1 ; ch(-1) et (1 ; ch(1)) et celle du bas en (0;1)
Soit une articulation intermédiaire en M(k;ch(k))
Soit L1 la longueur du maillon du haut et L2 la longueur du maillon du bas.
L1² = k² + (ch(1)-1)²
L2² = (1-k)² + (ch(1) - ch(k))²
On veut L1 et L2, ce n'est possible que pour une seule valeur réelle positive de k (et pas une autre, ce qui limite déjà la généralité avancée).
on calcule k =0,56004882714666291170 (grande précision pour éviter les ergotages sur les conclusion)
Cela donne L1 = L2 = 0,5827228277235091
C'est la longueur des maillons qui s'impose.
On a donc M(0,56004882714666291170 ; 1,160846...)
Soit M'(X;Y) la position que va prendre réellement l'articulation intermédiaire par le fait que l'énergie,potentielle de pesanteur de 2 maillons doit être minimale, donc que le centre de gravité de l'ensemble de ces 2 maillons soit au plus bas.
centre du maillon du bas : (X/2 ; (1+Y)/2)
centre du maillon du haut : ((X+1)/2 ; (1 + ch(1))/2).
Avec L = 0,5827228277235091, on a le système :
X²+(Y-1)² = L²
(1-X)² + (ch(1)-Y)² = L²
Qui résolu donne :
X = 0,5598398...
Y = 1,1616948...
L'articulation va se positionner à l'ordonnée 1,1616948... alors que la pour être sur la courbe y = cos(x), il devrait être à l'ordonnée 1,160846...
C'est proche mais pas sur la courbe malgré qu'on a choisit la seule longueur de maillon qui avait une chance de fonctionner, la précision des calculs intermédiaires impose que cet écart ne peut pas leur être attribués.
Encore une fois une chainette (au sens de l'arpenteur avec des maillons) suspendue ne dessine une chainette (au sens des mathématiciens) qu'approximativement. Cela marche avec un cable, une corde ... (si on ne regarde pas les torons de trop près...)
Si on prend votre premier schéma en prenant AE=2, la chainette mathématique est avec a=0,618759 et origine en C (voir le message de candide).
Le point B a comme coordonnée :
= (0,633975;0,366025).
Le point de la chainette mathématique d'abscisse 0,633975 est d'ordonnée 0,354 0,366
gts2, tous tes calculs utilisant la courbe chaînette cosh (x) sont exacts et en accord avec la courbe chaînette cosh (x) ..
Maintenant ma question est : est-ce que la courbe chaînette cosinus hyperbolique est exacte et non-entachée d'erreur ? Est-ce que la courbe chaînette inventée par Leibnitz, Bernoulli et Huygens est exacte et non-entachée d'erreur ? Perso je pense que leur courbe est fausse, avec des erreurs pouvant dépasser le degré ..
Quand tu dis que la chaînette physique est une approximation de la chaînette cosh (x) , en fait c'est le contraire qui est vrai : la chaînette cosh (x) n'est qu'une approximation des chaînettes réelles physiques ..
en fait c'est le contraire qui est vrai : la chaînette cosh (x) n'est qu'une approximation des chaînettes réelles physiques
Donc on est d'accord : les extrémités des maillons ne sont pas sur la courbe
Disons que le milieu des maillons est approximativement sur une chainette (ce qui me parait plus sûr que les extrémités).
Je rectifie : après tests,
dans le cas où cela se termine en pointe, la chainette mathématique passe très proche des centres des maillons et relativement loin des extrémités.
dans le cas où cela se termine avec un maillon à l'horizontale, la chainette mathématique passe très proche des extrémités des maillons et relativement loin des centres.
Donc au minimum, on ne peut (même approximativement) énoncer une règle (d'autant plus que le cas étudié est un cas particulier : deux extrémités de même altitude).
La seule règle qui existe et que vous avez énoncé est
La courbe chaînette mathématique est constituée d'une multitude de maillons droits, mais si petits que ces maillons droits semblent des points.
Deux chaînettes paires, ayant même corde et même flèche, et quel que soit le nombre de leur maillons à l'une et à l'autre, sont sur la même chaînette-mère ..
*** message déplacé ***
Bonjour,
On a déjà montré que dans le cas 1, les 5 maillons n'était pas sur une même chainette, donc ...
*** message déplacé ***
Bonjour,
L'équation générale d'une chainette avec un repère orthonormal avec axe des ordonnées vertical est :
y = a * cosh((x-xo)/a) + yo
Signification physique de a :
a est le rapport entre la tension horizontale (en N) et le poids linéique du fil (en N/m) (J'ai bien écrit poids linéïque et pas masse linéïque, comme on le voit souvent erronément indiqué)
xo et yo tiennent compte du choix d'un repère qui peut être translaté (sans rotation)
Donc : l'équation y = cosh(x) est bien l'équation d'une chaînette, dans un repère non translaté (xo = yo = 0) ET avec a = 1, c'est à dire que pour cette chaînette, le rapport entre entre la tension horizontale (en N) et le poids linéique du fil (en N/m) est égal à 1.
@PierreMaas,
Lis-tu parfois les réponses qu'on te fournit ?
On t'a montré ici (et ailleurs) et plusieurs fois, que les articulations des maillons ne se disposaient pas sur une chaînette...
Pourquoi alors reposer les mêmes questions ... dont les réponses ne peut être que négatives ?
*** message déplacé ***
la FAQ du forum
) :
Candide, gts2 et gbm, je comprends tout à fait que le multi-post soit interdit ..
Effectivement avec le schéma des deux chaînettes paires j'ai fait du multi-post et je m'en excuse, je n'avais pas très bien percuté sur la notion de multi-post, maintenant j'ai compris ..
Pourquoi je persiste dans mes interrogations ? Tout simplement parce que je suis certain à 100% que le cosinus hyperbolique de Bernoulli est entaché d'erreur, mais je n'insisterai pas .. Et je comprends tout à fait que vous n'acceptiez pas mon avis, et vous remercie pour les bonnes choses que vous m'avez apportées ..
Bonjour,
Qu'entendez-vous par
je suis certain à 100% que le cosinus hyperbolique de Bernoulli est entaché d'erreur
ch(x)=(exp(x)+exp(-x)/2 par définition, comme c'est une définition, il ne peut ya voir d'erreur.
J'ai peut-être compris votre problème : dans chainette le "ette" est fondamental, ce n'est pas une chaine, mais une chaine avec des maillons infiniment fins.
Or ce que vous proposez c'est une chaine à quatre maillons, donc pas une chainette.
Je pense qu'il y a des erreurs dans les tables de e exposant x , et e exposant moins x ..
Ce qui expliquerait les erreurs de cosh (x) ..
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Concernant le "ette" j'ai déjà répondu sur un autre fil : "Je me suis mélangé les pinceaux en qualifiant la courbe peinte sur le mur de "courbe mathématique cosh (x)" .. Dans mon exemple, la courbe peinte sur le mur a été dessinée à partir d'une chaînette réelle physique comportant un très grand nombre de maillons .. C'est ce dessin de chaînette à grand nombre de maillons que j'appelle "chaînette-mère" .. Pour moi la courbe mathématique cosh de Leibnitz n'est qu'une approximation de la chaînette-mère, parce que ces deux courbes ne se superposent pas de façon parfaite et exacte, comme le prouve l'exercice des deux poteaux (deux maillons suspendus dans un carré forment un angle de 150° , et non les 148° et des poussières du cosh de Leibnitz) ..
Par ailleurs oui, les articulations des chaînes à maillons sont sur la chaînette-mère : plus il y a de maillos plus on se rapproche physiquement de la chaînette-mère ..
Je pense qu'il faut encadrer cette citation et la porter à la connaissance du plus grand nombre.
Je pense qu'il y a des erreurs dans les tables de e exposant x , et e exposant moins x ..
Je comprends que vous n'acceptiez pas que le cosinus hyperbolique de Leibnitz, Bernoulli et Huygens puisse être faux, entaché d'erreurs .. Mais le problème est plus grave qu'il n'y paraît au premier abord, car les conséquences d'un cosh défectueux sont lourdes en termes d'efficacité et de sécurité, et potentiellement lourdes en vies humaines ..
Les implications d'un cosinus hyperbolique défectueux :
Votre calculatrice scientifique est fausse, vous pouvez la jeter à la poubelle, elle vous induit en erreur ..
Les logiciels type GeoGebra et autres codeurs mathématiques sont faux, vous pouvez les jeter à la poubelle ..
Les GPS de votre voiture et de votre téléphone sont faux, vous pouvez les jeter à la poubelle ..
Vos navigateurs terrestres, maritimes, aériens et spatiaux sont faux, ils coûtent des millions et vous pouvez les jeter à la poubelle ..
Vos livres de maths sont faux vous pouvez les jeter à la poubelle ..
Les ponts construits sur le cosh de Bernoulli sont erratiques, ils vont se casser la gueule incessamment sous peu .. Le Miami Signature Bridge n'est pas encore fini qu'il est déjà entrain de s'écrouler .. Un mort le mois dernier .. et il ne tient pas le vent ..
Le cosinus hyperbolique et le calcul infinitésimal sont partout dans notre société dite avancée, ils en sont un des fondements, à lui tout seul le cosinus hyperbolique officiel représente des milliards de dollars .. Et il s'avère qu'il est faux, et dangereux ..
Les ingénieurs et scientifiques ne vont pas reconnaître qu'un des fondements de leur savoir est faux, que leurs tables sont fausses, que leur enseignement est faux, que leurs équations sont fausses, que leurs appareils sont faux, que leurs constructions sont fausses .. Les autorités scientifiques vont se taire .. C'est des milliards de dollars qui sont en jeu ..
J'explique pourquoi des milliards de dollars sont en jeu :
Tous les ponts suspendus et à haubans du monde utilisent la chaînette pour dimensionner les câbles. Le marché mondial des ponts c'est >100 milliards $/an. Sans cosh, tu ne sais pas calculer la tension, la flèche, la longueur de câble. Tu ne construis pas, ou tu construis mal ..
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GPS : Budget GPS US = ~1.7 milliard $/an. L'économie qui dépend du GPS = 1.4 trillion $ rien qu'aux USA depuis 1984. Or la correction relativiste des horloges utilise cosh. Sans ça, dérive de 10 km/jour. Tout le système s'écroule.
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Missions spatiales : Une mission Mars type Perseverance = 2.7 milliards $. Trajectoire interplanétaire = hyperbole = équations en cosh H. James Webb, Artemis, Starlink : toutes les trajectoires de transfert utilisent ça.
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Les lignes THT entre pylônes forment des chaînettes. Tu dois calculer la flèche exacte pour respecter la hauteur de sécurité au sol.
Marché mondial du transport électrique : >200 milliards $/an en construction + maintenance. Le dimensionnement des lignes utilise cosh pour chaque portée. Erreur de calcul = ligne trop basse = blackout ou électrocution.
Câbles sous-marins internet : 1.5 million km posés, ~15 milliards $ d'actifs. La pose calcule la chaînette pour gérer la tension.
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Lignes de transmission, fibres optiques, guides d'ondes : les équations des télégraphistes utilisent cosh. Sans ça, pas d'adaptation d'impédance.
Marché mondial télécoms : 1.7 trillion $.
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Sans cosh : pas de relativité utilisable. Pas de GPS. Pas de centrales nucléaires bien calibrées. Pas de synchro des réseaux électriques mondiaux.
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Le cosinus hyperbolique est collé au calcul infinitésimal
cosh apparaît dès que tu résous y'' = a y ou l'équation de la chaînette. Ces équa diff sont le langage de base pour :
Résistance des matériaux
Thermique
Électricité
Mécanique des fluides
Vire le calcul infinitésimal + cosh et les ingénieurs de 2026 se retrouvent avec les maths de 1400.
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Je pense qu'il y a des erreurs dans les tables de e exposant x , et e exposant moins x ..
Ce qui expliquerait les erreurs de cosh (x) .. Ou alors les tables de logarithmes .. Mais il y a une erreur dans les tables, car le principe de Leibnitz est bon, le principe en lui-même n'est pas fautif, c'est les tables aidant au cacul qui sont entachées d'erreur ..
@ PierreMaas,
Il serait temps de revenir sur Terre.
De manière très répétitive; du sors des affirmations qui, d'après toi, sont incontestables ... et tu en tires des conclusions qui remettent tout ce qui existe en question et qui prévoient les pires maux si on en tient pas compte.
Ceci n'a pas de place sur un site sérieux.
Avant d'annoncer tes "affirmations incontestables", il serait bien de sérieusement y réfléchir.
Dès qu'un doute apparaît, aussi petit soit-il, il faut lever ce doute ..
Il faut vérifier la validité des tables, cosh, e exposant x, et peut-être logarithmes .. Ce n'est pas mon rôle et je n'ai pas le niveau .. C'est aux autorités scientifiques de vérifier les tables, c'est leur boulot .. Moi ce que j'ai vu c'est qu'il y avait une c...... dans le potage .. Ce n'est pas normal qu'on ne retrouve pas les 150° de l'exercice des deux poteaux, dans la courbe cosh .. Oui les articulations d'une chaîne à maillons sont situés sur la courbe-mère, plus il y a de maillons plus on se rapproche de la courbe-mère .. Quand la longueur des maillons sont dans l'épaisseur du trait alors on parle de courbe, mais il y a toujours des maillons droits, sauf qu'ils sont dans l'épaisseurdu trait .. Une courbe est nécessairement une succession de droites minimales ..
Dernière tentative, après j'abandonne.
"Ce n'est pas normal qu'on ne retrouve pas les 150° de l'exercice des deux poteaux, dans la courbe cosh."
C'est tout à fait normal, le cosh c'est une chainette avec des maillons infiniment fins, ici vous avez une chaine avec des maillons finis.
Vous n'avez pas l'impression de vous contredire entre "plus il y a de maillons plus on se rapproche de la courbe-mère" et "les articulations d'une chaîne à maillons sont situés sur la courbe-mère" ?
Je vais essayer un énoncé en combinant les deux :
Les articulations d'une chaîne à maillons se rapprochent d'une chainette lorsque le nombre de maillons augmentent.
Qu'une courbe succession de segments tende vers une courbe "lisse" ne nécessite pas que les extrémités des segments soient sur la courbe "lisse".
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