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Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique

Posté par
confiture96 24-04-16 à 13:49

Bonjour,

Je vous joint le schéma ainsi que les détails de l'énoncé que j'ai a traiter.

Les premières questions demandes de trouver v1 , v2 , vG, donc j'ai trouvé respectivement les valeurs: v1=Vo, v2=0, vG=1/3Vo

(je ne suis pas sûre pour la dernière).

Je suis bloquée pour les questions qui suivent à savoir:

5) Determiner v1* (je trouve pareil que vG est-ce normal ?) qui est v1 dans le référentiel barycentrique

6) determiner la vitesse angulaire après le choc en fonction de Vo et L sachant que le systeme tourne autour du point G

7) Determiner en fonction de m, L et w l'expression de la tension de la corde juste après le choc.

Merci d'avance !

Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique

Posté par
vanoisere : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 24-04-16 à 16:28

Bonjour,
D'accord avec toi pour les trois vitesses, juste après le choc, mesurées dans le repère (R) fixe par rapport à la table.
Dans le repère barycentrique (R*) : (G,x,y) , la relation de composition des vitesses, pour un point M quelconque  s'écrit :

\overrightarrow{V{}_{(M/R)}}=\overrightarrow{V_{(M)}*}+\overrightarrow{V_{(G/R)}}
Dans la mesure où (R*) est en translation par rapport à (R).
D'où :
\overrightarrow{V_{(M)}*}=\overrightarrow{V{}_{(M/R)}}-\overrightarrow{V_{(G/R)}}=\overrightarrow{V{}_{(M/R)}}-\frac{V_{0}}{3}\cdot\overrightarrow{u_{x}}
Applique cette relation à A et à B...

Posté par
confiture96re : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 24-04-16 à 20:01

Merci beaucoup !!

Posté par
confiture96re : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 24-04-16 à 22:52

dernière question je l'espère ,
j'ai trouvé v1*, je recherche maintint la vitesse angulaire du système qui tourne autour du centre de masse.

Dois-je simplement faire w=OG/v1* avec OG mon centre de masse?
(cela me semble bizarre car du coup je n'ai pas de radians..)

Merci d'avance

Posté par
vanoisere : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 24-04-16 à 23:19

Une méthode possible consiste à raisonner sur le moment cinétique du système en G qui, selon le théorème de König, à même valeur dans (R) et dans (R*)...
Tu dois connaître aussi l'expression de ce moment cinétique en fonction de la vitesse angulaire et du moment d'inertie par rapport à l'axe (Gz)...

Posté par
confiture96re : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 25-04-16 à 09:12

Bonjour,

merci pour votre réponse.
J'ai toujours du mal, enfaite je n'arrive pas à trouver I(G) car je ne sais pas qu'elle est le rayon du cercle étant donné que je n'ai pas un cercle a rayon constant (puisque mon G n'est pas au milieu de L).

Pareil pour le moment des forces, la seule force que j'ai a prendre en compte est bien le poids ?

merci d'avance

Posté par
vanoisere : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 25-04-16 à 10:23

Bonjour
Je note \overrightarrow{\Omega}  le vecteur rotation du système {A1,A2,fil} par rapport à (R) ou par rapport à (R*) : le repère (R*) étant en translation par rapport à (R), le vecteur rotation est le même dans les deux repères. Le moment cinétique du système, calculé en G dans (R*) à pour expression :

\overrightarrow{\sigma_{G}*}=I_{Gz}\cdot\overrightarrow{\Omega}

Le moment d'inertie du système par rapport à l'axe de rotation (Gz) vaut :

I_{Gz}=m\left(GA_{1}\right)^{2}+2m\left(GA_{2}\right)^{2}=\frac{4mL^{2}}{9}+\frac{2mL^{2}}{9}=\frac{2}{3}mL^{2}

\overrightarrow{\sigma_{G}*}=I_{Gz}\cdot\overrightarrow{\Omega}=\frac{2}{3}mL^{2}\cdot\overrightarrow{\Omega}

Le système étant pseudo-isolé (les poids sont compensés par les actions sans frottement de la table), ce moment cinétique reste constant au cours du temps, le système tourne à vitesse angulaire constante autour de l'axe (Gz). Pour trouver cette vitesse angulaire, il suffit de se placer dans le cas particulier de l'instant initial :

\overrightarrow{\sigma_{G}*}=m\overrightarrow{GA_{1}}\wedge\overrightarrow{v_{1}*}+2m\overrightarrow{GA_{2}}\wedge\overrightarrow{v_{2}*}=\frac{2mL}{3}\overrightarrow{u_{y}}\wedge\frac{2}{3}V_{0}\overrightarrow{u_{x}}-\frac{2mL}{3}\overrightarrow{u_{y}}\wedge\left(\frac{-1}{3}V_{0}\overrightarrow{u_{x}}\right)=-\frac{2}{3}mLV_{0}\cdot\overrightarrow{u_{z}}]

Par identification :

\overrightarrow{\Omega}=-\frac{V_{0}}{L}\cdot\overrightarrow{u_{z}}

Remarque : on peut obtenir directement ce vecteur rotation en raisonnant sur le cas particulier de l'état initial mais l'avantage de faire intervenir le moment cinétique permet d'affirmer que la vitesse angulaire de rotation reste constante au cours du temps.
A t = 0 :

\begin{cases} \\ \overrightarrow{v_{1}*}=\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{GA_{1}}\quad\frac{2}{3}V_{0}\overrightarrow{u_{x}}=\overrightarrow{\Omega}\wedge\frac{2}{3}L\overrightarrow{u_{y}} & \text{d'où :\ensuremath{\quad\overrightarrow{\Omega}=-\frac{V_{0}}{L}\cdot\overrightarrow{u_{z}}}}\\ \\ \overrightarrow{v_{2}*}=\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{GA_{2}}\quad\frac{-1}{3}V_{0}\overrightarrow{u_{x}}=\overrightarrow{\Omega}\wedge\left(\frac{-1}{3}L\overrightarrow{u_{y}}\right) & \text{d'où :\ensuremath{\quad\overrightarrow{\Omega}=-\frac{V_{0}}{L}\cdot\overrightarrow{u_{z}}}} \\ \end{cases}

Pense à vérifier le ” réalisme ” du signe (-) : le système tourne dans le sens horaire....

Posté par
confiture96re : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 25-04-16 à 10:58

Merci beaucoup ! J'avais complètement oublié cette relation dans mon cours.

Mais juste, est-il possible de calculer le moment en appliquant les forces comme on le fait en mécanique du point et non avec les vitesses ?

Posté par
vanoisere : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 25-04-16 à 12:07

De quel "moment" parles-tu ? moment d'inertie, moment de force, moment cinétique, moment dynamique ????
Pour la dernière question, tu peux appliquer la RFD à une masse dans le repère (R*) . Vérifie que tu obtiens bien un résultat cohérent en l'appliquant à A1 puis à A2...
remarque : il faut bien sûr s'assurer d'abord que (R*) est galiléen...

Posté par
grenadine75re : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 26-04-16 à 09:14

Bonjour,
j'ai le même exercice à traiter. J'ai un doute sur la détermination de l'accélération du centre de masse: les seuls forces appliquées sont la tension de la corde sur A1 et A2 or le système est pseudo-isolé donc maG=0?
Le mouvement de G est donc rectiligne uniforme?

Posté par
vanoisere : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 26-04-16 à 12:23

Bonjour

Citation :
Le mouvement de G est donc rectiligne uniforme?

Oui ! Ainsi, le repère barycentrique (R*) est en translation rectiligne uniforme par rapport au repère (R) lié à la table considéré comme galiléen : (R*) est donc aussi galiléen.

Posté par
grenadine75re : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 26-04-16 à 20:25

Merci beaucoup vanoise!

Posté par
confiture96re : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 26-04-16 à 20:58

Bonsoir,

je me suis en effet emmêlé les pâtes dans les differents moments, je vous remercie pour cet éclairement

De plus, pour déterminer la tension juste après le choc je compte utiliserle théorème de l'énergie cinétique.

Je ne sais pas si je suis sur la bonne voie mais étant donné que la tension n'est pas une force conservative, je comptais dire que deltaEc= dW

Suis-je sur la bonne voie ?

Merci d'avance

Posté par
grenadine75re : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 26-04-16 à 21:45

Je pense qu'un PFD sur l'une des deux masses ( que tu le fasses sur A1 ou A2 tu es censé avoir le même résultat) suffit puisqu'on sait v1*

Posté par
confiture96re : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 26-04-16 à 21:58

quand est-ce que le v1* intervient dans le PFD?

Posté par
vanoisere : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 26-04-16 à 23:14

Bonsoir,
Soit T1 l'action du fil sur A1. Dans (R*), A1 est animé d'un mouvement circulaire uniforme à la vitesse angulaire , de rayon R1=2L/3. (R*) étant galiléen, le PFD appliqué à A1 conduit à :

\overrightarrow{T_{1}}=m\cdot\overrightarrow{a_{1}}

En notant \overrightarrow{u_{r}}  un vecteur radial centrifuge, cela donne :

-\Vert\overrightarrow{T_{1}}\Vert\overrightarrow{u_{r}}=-mR_{1}\Omega^{2}\overrightarrow{u_{r}}

\Vert\overrightarrow{T_{1}}\Vert=m\frac{2L}{3}\left(\frac{V_{0}}{L}\right)^{2}=\frac{2}{3}m\frac{V_{0}^{2}}{L}

En appliquant le pfd à A2, je te laisse démontrer que la force exercée par le fil sur A2 est :

\overrightarrow{T_{2}}=-\overrightarrow{T_{1}}

Posté par
confiture96re : Quantité de mouvement dans un référentiel barycentrique 27-04-16 à 10:16

merci vanoise


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