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puissance onde

Posté par
azerty4 05-04-20 à 20:56

Bonsoir,

une petite question sur un exercice d'électromagnétisme :
On étudie la propagation d'une onde électromagnétique entre une soure et un récepteur.
(Pas d'autre info)
Nous devons tout d'abord définir une puissance moyenne temporelle traversant une surface S ouverte entre la source et le recepteur et une densité surfacique de puissance moyenne (quantité vectorielle).
J'ai trouvé assez peu d'informations sur internet (surtout pour la deuxième)
Je les ai définies respectivement  en P_{moy} =\dfrac{1}{2} \iint _{(S)} \vec \pi . \vec dS = \dfrac{1}{2}  \iint _{(S)} (\vec E * \vec H^*) . \vec dS et
\vec W_{rad}=\dfrac{ \iint _{(S)} \vec \pi . \vec dS }{S} \vec n
Je ne suis pas sur de ces définitions que j'ai fait à l'instinct, et la suite de l'exercice se base sur celles ci

Ces définitions vous semblent-elles cohérentes ?

Merci d'avance pour votre aide !
Bonne soirée

Posté par
vanoisere : puissance onde 05-04-20 à 21:43

Bonsoir
Quelques idées générales.
La puissance instantanée à travers une surface ouverte est égale au flux à travers cette surface du vecteur de Poynting.  Ce vecteur étant le produit vectoriel du vecteur E par le vecteur H. Si, le régime est sinusoïdal, la puissance instantanée peut faire intervenir le carré d'une fonction sinusoïdale du temps, la valeur moyenne sur une période de ce carré vaut 1/2.
La densité surfacique de puissance est simplement le produit scalaire du vecteur de Poynting par le vecteur unitaire normal n. Reste alors à prendre la valeur moyenne...

Posté par
azerty4re : puissance onde 05-04-20 à 22:01

Bonjour,

merci beaucoup pour votre réponse !
J'avais défini la densité de puissance comme en thermodynamique, mais c'est en effet beaucoup plus simple en electromagnétisme c'est juste lié au vecteur de Poytoing, je n'avais pas fait le lien merci beaucoup !

Le cours de ce professeur définit la valeur moyenne comme 1/2 fois la partie réelle
Par exemple P_{\ source} =- (\vec E . \vec j) et P_{moy \ source} = -\dfrac{1}{2} Re(\vec E . \vec j)
Je ne comprends pas trop pourquoi peut passer à la valeur moyenne juste en prenant la moitié de la partie réelle, avez vous une idée ?

Merci encore

Bonne soirée

Posté par
vanoisere : puissance onde 05-04-20 à 22:10

Il faut détailler le calcul.  En régime sinusoïdal, la valeur instantanée fait intervenir un sinus ou un cosinus au carré.  La valeur moyenne d'un tel carré sur une période vaut 1/2.

Posté par
azerty4re : puissance onde 07-04-20 à 21:49

Bonsoir,

je viens d'avoir un éclaircissement de mon professeur : le facteur 1/2 apparaît comme nous ne considérons pas de dépendance temporelle dans le champ : nous écrivons E(t) = E_0 e^{ \gamma z } = E_0 e^{ - j \beta z }.
Si nous écrivions le champ E(t) = E_0 e^{j(\omega t - k z)} comme on le faisait avec le précédent professeur, nous ne mettrions pas le 1/2 devant mais il apparaîtrait en faisant la valeur moyenne d'un cos² dépendant du temps

Nous avons maintenant une source d'onde, isotropique de puissance constante, en coordonnées sphériques

Nous cherchons maintenant à définir une densité de puissance U ,par unité d'angle solide (et non plus par unité de surface) :

Voici mon raisonnement :

U = Puissance / angle solide

U = \dfrac{\int _{0} ^{2 \pi} \int _0 ^\pi \vec \Pi . \vec n R^2 sin(\theta ) d\theta d\varphi }{\int _{\theta 1} ^{\theta _2} \int _0 ^\varphi sin(\theta ) d\theta d\varphi } = \dfrac{4 \pi R^2\left|\vec \Pi \right|}{(cos \theta_1 - cos\theta_2 ) . \varphi } = \dfrac{4 \pi R^2\left|\vec \Pi \right|}{\Omega}


Je trouve ce raisonnement un peu lourd pour la suite j'ai peur qu'il soit incorrect

Avez vous des piste pour définir cette puissance par unité d'angle solide ?

Je ne suis pas familier avec l'angle solide c'est le premier exercice

Merci d'avance pour votre aide

Bonne soirée

Posté par
vanoisere : puissance onde 07-04-20 à 22:23

Citation :
il apparaîtrait en faisant la valeur moyenne d'un cos² dépendant du temps

Exactement ce que je t'avais expliqué !
Pour la suite : tu travailles en coordonnées sphériques et tu sembles calculer la puissance rayonnée à travers une sphère de rayon R en supposée le vecteur de Poynting radial en tout point avec une norme ne dépendant que de r, donc fixe en tout point de la surface . Tu te compliques bien la vie avec tes intégrales !  L'angle solide correspondant à cette sphère vaut tout simplement 4sr.
Sans faire d'hypothèse particulière sur les propriétés du vecteur de Poynting, tu peux calculer la puissance élémentaire rayonnée à travers une surface élémentaire \overrightarrow{dS}=\overrightarrow{n}.dS. Tu divises alors par l'angle solide élémentaire d sous lequel cette surface élémentaire est vue du point O. Plus simple et plus général.
Tu trouveras ici quelques exercices simples sur les angles solides :

Posté par
azerty4re : puissance onde 07-04-20 à 22:50

Merci beaucoup pour votre réponse si rapide

Désolé je n'avais pas compris le message de hier ( je pensais que la valeur 1/2 allait apparaître a 2 reprises, je m'étais emmêlé) mais c'est parfaitement clair maintenant merci beaucoup

J'ai un peu de mal à voir d'où vient l'angle solide de 4 π s r ( si s est la surface)
En utilisant votre lien,  je trouve l'angle solide = s/r² = 4 π


Merci encore pour toute l'aide apportée !

Belle soirée

Posté par
vanoisere : puissance onde 07-04-20 à 23:40

Citation :
J'ai un peu de mal à voir d'où vient l'angle solide de 4 π s r ( si s est la surface)

Un angle exprimé en radians est un rapport de deux longueurs. On utilise cependant l'unité "radian" pour bien préciser de quoi on parle, le radian étant une unité de dimension 1 (unité sans dimension comme on dit parfois) . En 3D, l'angle solide est un rapport de deux aires de surfaces ; Il s'agit donc aussi d'une grandeur de dimension 1 ; pour bien préciser de quoi on parle, bien faire la différence entre la mesure d'un angle et la mesure d'un angle solide par exemple, on attribue à l'angle solide une unité : le stéradian, symbole sr. L'angle solide sous lequel la sphère est vue du point O ou de tout autre point à l'intérieur de la sphère est donc 4 sr : lire "4 stéradians.
Soit une surface élémentaire d'aire dS centrée en un point M où le vecteur de Poynting est \overrightarrow{\prod}. La puissance rayonnée à travers cette surface est  : \overrightarrow{\prod}.\overrightarrow{n}.dS
L'angle solide élémentaire sous lequel cette surface élémentaire est vue du point O est : d\Omega=\frac{\overrightarrow{u_{r}}.\overrightarrow{n}.dS}{r^{2}} avec \overrightarrow{u_{r}} vecteur unitaire colinéaire à \overrightarrow{OM}. Je te laisse exprimer la puissance par unité d'angle solide dans le cas où le vecteur de Poynting est dirigé par \overrightarrow{u_{r}}.
Tu vas obtenir quelque chose de très simple cohérent avec ton précédent message mais plus général.
Autre document sur les angles solides :

Posté par
azerty4re : puissance onde 08-04-20 à 08:53

Bonjour,

merci beaucoup pour l'explication et le document !
Désolé j'avais confondu l'unité sr avec le produit surface*rayon

On pourrait alors noter U = \dfrac{\vec \Pi . \vec n dS}{d \Omega } = \dfrac{\vec \Pi . \vec n R^2 sin(\theta ) d\theta d \varphi }{sin(\theta ) d\theta d \varphi } = \vec \Pi . \vec u_r R^2

J'avais ensuite fait l'hypothèse que comme la source est isotrope quelle que soit la direction de propagation,  \vec \Pi soit suivant \vec e_r
(je commence à douter ce cette hypothèse, bien que la source soit isotrope, rien n'empêche d'émettre suivant les direction \vec e_\varphy et \vec e_\theta   bien que cela semble un peu physiquement étrange)

On aurait alors U = \left| \vec \Pi \right| R^2

En regardant les dimension, on obtient des watts (ce qui est cohérent, la densité de puissance par unité d'angle solide, et l'angle solide est de dimension 1)

Cela vous semble t il correct ?

Merci beaucoup pour votre aide

Bonne journée

Posté par
vanoisere : puissance onde 08-04-20 à 11:34

Pour ton expression de U, il n'est pas nécessaire d'expliciter dS ; il y a simplification immédiate compte tenu de l'expression de d que je t'ai indiquée. Tu obtiens un résultat correct ; même chose pour l'unité de U.
Dans le vide et les milieux linéaires, homogènes et isotropes, loin de la source ("loin" : distant de quelques longueurs d'onde donc quasiment partout compte tenu des très courtes longueurs d'onde) l'onde émise peut être considérée comme transversale (vecteurs E et B orthogonaux au vecteur \vec u_r) donc vecteur de Poynting radial. Cela conduit à : U=\Vert\overrightarrow{\Pi}\Vert.r^{2}
; Si le milieu n'est pas absorbant, la conservation de l'énergie en absence de rayonnement autre que radial conduit à U constant suivant une direction donnée donc à \Vert\overrightarrow{\Pi}\Vert inversement proportionnel à r2 donc à des amplitudes de E et B inversement proportionnelles à r. Attention : j'ai dit que U est fixe pour une direction donnée mais U peut varier en fonction de la direction donc en fonction de et . C'est le cas des antennes hertziennes par exemple.


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