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Propagation d'une OEM dans un plasma.
Bonjour ! Voilà cela fait plusieurs heures que je planche sur ce problème et je m'en sors pas.
On est dans un plasma constitué d'ions et d'électrons de même densité n0.
On s'intéresse à la propagation d'une onde électromagnétique plane décrite par le champ vectoriel (E,B) selon Oz.
Dans les premières questions il s'agissait de montrer à partir des équations de Maxwell (dans un milieu ayant les mêmes propriétés que le vide) qu'il existait des potentiels vecteurs et scalaires et qu'ils ne sont pas uniques.
Ça c'était pas trop dur on trouve que pour un même champ B on a plusieurs potentiels vecteurs qui diffèrent d'un gradient d'une fonction. On a A' = A + grad(f) et par un raisonnement analogue on trouve que pour deux potentiels scalaires V et V' on a : V' = V - df/dt.
Jusque là rien de très sorcier.
A présent on impose la jauge de coulomb, c'est à dire : div(A)=0.
On veut montrer alors que le potentiel vecteur A est seulement égal à sa composante transversale à Oz. C'est à dire on veut montrer que A = A
.
J'ai essayé de manipuler les équations de Maxwell dans tous les sens en utilisant notamment que E=-grad(V) - dA/dt mais rien de très concluant. Je trouve bien que le laplacien de A c'est le vecteur opposé au rotationnel de B i.e 
A = - rotB mais je vois pas trop comment utiliser 
et d de l'équation de Maxwell Ampère avec ça..
Il doit y avoir des propriétés mêlant les composantes transversales, longitudinales avec la divergence et le rotationnel que je ne connais pas parce que je vois pas comment m'en sortir.
Merci d'avance pour votre aide !
salut
j'ai pas mal cherché une solution à ton problème.
Je pense qu'il faut partir vers le plus simple :
divA = 0 
dAx/dx + dAy /dy + dAz/dz = 0
il faut maintenant montrer que dAx/dx = 0 et dAy/dy=0
intuitivement ça ne me choque pas puisque le milieu est homogène donc il n'y a aucune raison pour que Ax et Ay dépendent de x et y
par contre, l'opérateur d/dz n'est pas identiquement nul car on se propage selon Oz
on arrive donc à Az = constante
maintenant il faudrait prouver que la constante est nulle et là je sèche un peu ^^
Sinon j'avais un bout d'idée avec un peu de bricolage.
J'avais dit : A = A
+ A.
div(A)=0 
(A + A).dS = 0 (intégrale fermée)
On prend dS=dxdy*ez Du coup il reste A*dx*dy = 0 Et là par un coup de baguette magique on a A qui ne dépend pas de x ni de y donc on peut le sortir de l'intégrale. Il reste alors A*S=0 donc A=0 mais il faudrait m'expliquer le coup de baguette magique !
Mais pourquoi ça serait indépendant de x et y ?? ça je ne vois pas. Je ne sais même pas si c'est vrai.
tu remarqueras qu'on a la même baguette magique ^^
je n'ai pas de justification précise sur l'indépendance par rapport à x et y, mais compte tenu de la géométrie du problème, je pense qu'elle est acquise.
fais un tour sur le site : http://olivier.granier.free.fr/cariboost_files/PC-ondes-EM-vide.pdf
à la page 8 et 9, il y a la démo sur le fait que Bz est nul dans ce cas.
par contre dans la démo que tu proposes, tu es sur de prendre une surface fermée ?
Merci pour ce document ! Dans la question d'après il faut justement donner ce que vaut B. Et comme on a B=(
Ay/dx - Ax/dy)ez On pourra certainement en déduire d'autres trucs ^^
Il faudrait surtout trouver un argument montrant que A ne dépend ni de x ni de y.. Parce que même en tripotant les équations de maxwell on a jamais A tout seul donc on peut pas trop raisonner sur la colinéarité ou sur des trucs comme ça..
Le truc c'est que A n'a pas réellement de sens physique concret, en tous cas moi je le vois pas.. Est-ce qu'on pourrait dire des choses sur grad(V) concernant sa direction ..?
Bon je vais continuer ma recherche, et sinon mon prof se contentera du coup de baguette magique !
Je pense que l'argument : le milieu est homogène donc ça ne dépend pas de x et y est le bon puisque ça s'articule bien avec la suite du problème. Cependant il y a quelque chose qui me gène j'aimerais montrer que E=-grad
et que E=-dA/dt
Enfin bon, une fois qu'on a l'un on a l'autre.. Une petite piste ?
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