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Produit vectoriel ?!
Bonjour,
c'est encore moi, encore à la veille d'un DS, et encore avec un problème particulièrement idiot : j'ai de gros soucis avec le signe de mes produits vectoriels. Quoique je fasse, j'ai des plus au lieu de moins, et des moins au lieu de plus. Enfin, pas à chaque fois, sinon, j'aurai juste à inverser ! x)
Auriez-vous une méthode simple pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs ?
Je connais bien sûr la formule avec le sinus, mais mes ennuis commencent quant les angles sont orientés. Ma prof a lourdement insisté sur l'importance de cette orientation pour le calcul d'un produit vectoriel ainsi que sur celle de choisir comme vecteur porteur le vecteur qui forme un trièdre direct.
Sauf que du coup, quand je dois aller d'un vecteurs "vers" un autre et que l'angle qui pourrait me servir est dans l'autre sens, je ne sais plus où donner de la tête. Est-ce que je dois mettre un moins devant l'angle ? Mais dans ce cas, j'ai l'impression que ça fait double emploi avec le choix du vecteur porteur... ce que mes résultats faux semblent confirmer.
Donc, si l'un de vous peut m'expliquer étape par étape ce qu'il faut faire... Parce que ça doit pas être bien difficile ! >.>
Merci d'avance,
Alsyia.
Bonjour.
Déjà il faut avoir à l'esprit que le produit vectoriel est anti-symétrique, c'est-à-dire :
=-
C'est logique lorsqu'on sait que le produit vectoriel est l'unique vecteur qui a pour norme ||||*||||*|sin(;)| et dirigé de telle sorte que (,,) forme un trièdre direct. En effet, si (,,) forme un trièdre direct, alors je te laisse visualiser que (,,) forme un trièdre indirect, et par conséquent c'est (,,-) qui forme un trièdre direct, d'où =-.
Ce que tu peux faire pour ne pas te tromper, c'est exprimer les vecteurs selon une base (
,
,
) orthonormée (qui sera souvent la base cartésienne, cylindrique ou sphérique).
Ensuite, tu peux utiliser la bilinéarité du produit vectoriel et te ramener, à des facteurs numériques près, à calculer les produits vectoriels suivants :
=
=-
=-
=
=
=-
Ben ouais, mais c'est pas évident, surtout que j'aime pas projeter ^^
Et en ce moment, je me retrouve souvent à faire un ur
ux par exemple...
Mais merci pour le conseil, je vais essayer ! ^^
Sinon, là, j'applique cette technique :
1)Je met les composantes des vecteurs que je produit-vectorielise devant les deux vecteurs
2)Je cherche le vecteur qui forme un trièdre direct (règle des 3 doigts)
3)Je prends le sinus de l'angle entre les deux, sans me préoccuper de l'orientation.
Pour l'instant, je trouve à chaque fois les bons résultats... ce qui signifie que si on tient compte du sens direct/indirect au niveau du vecteur porteur, y a pas besoin de recommencer pour l'angle.
Ce qui, en y réfléchissant, est assez logique, mais contraire au dires de ma prof...
Donc je sais pas trop, mais ça marche bien ! x)
Merci pour ta réponse.
3)Je prends le sinus de l'angle entre les deux, sans me préoccuper de l'orientation.
C'est la valeur absolue du sinus que l'on prend, car la direction est seulement déterminée de telle sorte que le trièdre soit direct.
Oh...
Mais j'ai jamais vu une seule valeur absolue sur un sinus de produit vectoriel en physique moi ! :s
Ou alors, c'est juste que si y a un "-" qui sort du sinus (avec les 
+
, tout ça) on met un "+" ?
Ca m'énerve de bloquer sur des trucs aussi simples ! x)
Ben euh oui. Enfin c'est bien ce que tu dis non ?
Je prends le sinus de l'angle entre les deux, sans me préoccuper de l'orientation.
Si tu ne te préoccupes pas de l'orientation, c'est bien que tu prends la valeur absolue toujours. Parce que vu que le sinus est impair...
On ne voit pas la valeur absolue de la même façon, apparemment, mais j'ai fini par comprendre ce que tu veux dire ! 
A priori, souci réglé...
Merci encore.
Bonjour,
où
est le tenseur complètement antisymétrique d'ordre 3. C'est à dire qu'il vaut 1 si {ijk} est une permutation paire de {123}, -1 si la permutation est impaire et 0 dans les autres cas (et bien sur, i,j et k sont à valeurs dans {x,y,z}).
C'est une formule très puissante, on démontre avec, en quelques lignes et sans peine, des formules d'analyse vectorielle qui font peur (car on peut écrire le rotationnel comme ).
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