Niveau licence

[Problème interprétation Physique] Démo Force Jet sur Auget

Posté par
guiyom974 02-12-17 à 13:02

Bonjour à tous,

Actuellement en train de rédiger des corrections de rapports de TP de Mécanique des Fluides que j'encadre, je fais face à un soucis de compréhension/raisonnement physique qui permet d'aboutir à la force exercée par un jet sur un auget :
$F_{Jet\rightarrow Auget} = \rho S_1 V_1^2 (1-\cos(\alpha) )$

En effet, pour ma part, pour démontrer cette expression, j'utilisais tout d'abord le théorème de Bernoulli pour 3 sections de même altitude ( $S_1$ section écoulement incident, $S_2$ et $S_3$ les section de gauches et droites de l'écoulement à la sortie de l'auget), bien entendu sous des conditions de fluide parfait incompressible en régime stationnaire. Cela me permet de montrer que
$V_1=V_2=V_3$
Puis la conservation de la masse donne $S_1 = S_2+S_3$ , et en utilisant ces relations, et en injectant les normales sortantes des sections, dans l'équation de conservation de la QDM d'Euler, j'arrive à retrouver l'expression de la force d'un jet sur un auget.

Cependant, dans cette démonstration, 1 hypothèse simplificatrice me pose problème : on suppose que $p_1=p_2=p_3$ et je ne vois pas qu'est-ce qui nous permet de dire ça ? En ligne, j'ai trouvais des démo où cette hypothèse revient, mais jamais justifiée clairement...

Parce que ça revient à dire que la pression dans le fluide est homogène ce qui me parait un peu contre. L'autre interprétation qui m'apparaît la plus plausible est que la pression du fluide $p_0$ au niveau de la surface de contact $S_0$ avec l'auget est grande devant $p_1$ , $p_2$ et $p_3$ , et donc que dans Bernouilli, on se permet de négliger les termes $p_1$ , $p_2$ et $p_3$ .

Pourriez-vous éclairer mes lanternes svp ?

Merci par avance,

Amicalement vôtre !

Posté par re : [Problème interprétation Physique] Démo Force Jet sur Auge 02-12-17 à 16:21

Bonjour
Tu as raison en considérant que la pression de l'eau sur l'auget est grande devant la pression atmosphérique mais toute l'astuce de la démonstration consiste à ne pas faire intervenir cette pression dans la démonstration. Observe bien le choix fait du volume de contrôle : les sections d'entrée et sortie sont à la pression atmosphérique.
Ta question est évoquée dans le document ci-dessous même s'il traite un cas un peu particulier :

Posté par re : [Problème interprétation Physique] Démo Force Jet sur Auge 02-12-17 à 17:07

Salut !

Tout d'abord, merci pour ta réponse !

Je vois bien que le volume de contrôle est astucieux et permet de ce fait, d'approximer la force de pression associée à l'écoulement par la force de pression à la surface de contact jet-auget, et de s'astreindre des termes liés à l'énergie potentielle du fluide dans Bernoulli.

Mais dire que $p_1=p_2=p_3$ , ça me perturbe quand même. Au final, sachant que Bernoulli s'applique sur la ligne de courant passant par les points 1 et 2 ou 1 et 3, je trouve cette hypothèse un peu bidouillée. On suppose $p_1=p_2=p_3$ pour que $V_1=V_2=V_3$ parce que c'est ce qu'on veut trouver.

Physiquement, pour l'écoulement considéré qui est l'écoulement stationnaire d'un fluide parfait incompressible, ça ne m'étonne pas que $V_1=V_2=V_3$ car en négligeant les frottements visqueux, on a pas vraiment de source de perte d'énergie cinétique (si ce n'est la gravité mais sa contribution est négligeable aux débits considérée, à l'échelle de l'auget). D'où $P_1=P_2=P_3$

Mais dans l'autre sens, " $p_1=p_2=p_3$ d'où $V_1=V_2=V_3$ à même hauteur", ça me choque. Enfin, la seule hypothèse physique qui me parle pour m'amener à $p_1=p_2=p_3 \Rightarrow V_1=V_2=V_3$ , c'est de dire que la pression dans le fluide est homogène, mais dans ce cas, je ne vois pas pourquoi on aurait un écoulement (vu que la source de l'écoulement est le gradient de pression, de la même manière que pour l'écoulement de Poiseuille, le gradient de pression est considéré comme un paramètre d'entrée qui engendre l'écoulement en conduite).

Posté par re : [Problème interprétation Physique] Démo Force Jet sur Auge 02-12-17 à 17:41

La démonstration de la force exercée par l'eau sur l'auget pourrait se cacluler par une formule du type :

$\overrightarrow{F}=\iint_{auget}P.\overrightarrow{dS}$
où P désigne la pression de l'eau au contact de l'auget. Cette pression est trop compliquée à évaluer ; on préfère raisonner sur la variation de quantité de mouvement. Le volume de contrôle choisit est tel que que les jets à l'entrée et à la sortie sont à l'air libre. La pression à la périphérie d'un jet est donc nécessairement la pression atmosphérique. On utilise alors l'hypothèse du jet à l'air libre assimilable à un écoulement unidirectionnel, ce qui parait acceptable : la pression est la même en tout point d'une section droite du jet.
L'accélération de l'eau s'est produite en amont (turbine située à la base d'un barrage hydroélectrique par exemple). N'oublie pas le principe d'inertie : une fois que l'eau a acquis une vitesse, elle s'écoule même en absence de gradient de pression et en cas d'influence négligeable de la pesanteur !

Posté par re : [Problème interprétation Physique] Démo Force Jet sur Auge 02-12-17 à 18:32

D'accord d'accord ! J'ai compris !
A force de faire de la Mécanique des Fluides numériques, j'en oublie les fondements théoriques de base, et je crois qu'un petit retour aux source ne me fera pas de mal !

Merci beaucoup pour le temps que tu m'as accordé et aux réponses apportées qui m'ont débloqué !

Je te souhaite une bonne soirée,

Amicalement,

Guillaume

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