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Problème équation différentielle

Posté par
zigororo 22-12-12 à 18:15

Bonjour,
Dans un devoir maison que j'ai en physique pour la rentrée, je bloque à une question concernant les équations différentielles.
En gros, voilà le soucis :
J'ai trouvé mon équation différentielle de second ordre :

z''+(ʎ/M)*z'+(k/M)*z = -((A*ʎ*w)/M)*sin(wt)

Dans l'exercice, on nous précise que la solution z(t) de cette équation s'écrit sous la forme :

z(t)=Zmax*cos(wt+ɸ)

On nous demande ensuite d'exprimer Zmax en fonction de k, M, w, ʎ et A (et uniquement ces paramètres là), et je ne sais pas comment faire, sachant qu'à t=0, z(t)=Zi (avec Zi étant une constante).

Auriez-vous une idée ?
D'avance merci !

Posté par
athrunre : Problème équation différentielle 22-12-12 à 18:51

Bonsoir,

remplace z dans l'équa diff par son expression. Développe les cos(a+b) et sin(a+b) de sorte à avoir une équation de ce type :

C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)=0

C_1 et C_2 étant des constantes. L'équation plus haut à lieu pour tout t0. Par liberté de la famille \{\sin,\cos\} on en déduit que C_1=C_2=0.

L'équation C_2=0 est, sauf erreur, une équation du premier degré en Z_\mathrm{max}.

Posté par
zigororore : Problème équation différentielle 22-12-12 à 19:34

Bonsoir,
J'ai deux questions à vous poser concernant votre raisonnement :
1) Pourriez-vous expliciter comment vous avez déduit que C1=C2=0 ?
2) En suivant votre méthode, j'ai toujours comme paramètre le déphasage φ, et l'équation C2=0 que j'obtiens correspond à :

Zmax*(w^2*sin(φ)-((λ*w)/M)*cos(φ)-(k/M)*sin(φ)+(λ*A*w)/M = 0

Est-ce normal ?

Posté par
athrunre : Problème équation différentielle 22-12-12 à 20:05

1) \boxed{\cdot}

C'est un résultat mathématique (c'est de l'algèbre linéaire plus précisément), il se démontre ainsi :

supposons que pour tout t positif l'on ait :

\large C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)=0

Alors t=0 donne C_1=0

Donc il reste pour tous t positifs :

C_2\sin(\omega t)=0

Puis t=\frac{\pi}{2\omega} donne C_2=0.

D'où C_1=C_2=0.

---

C'est le même principe qui est utilisé pour "identifier" les coefficients d'un polynôme :

si on a une égalité de polynômes, par exemple :

ax^2+bx+c=dx^3+ex^2+fx+g

alors a=e,\ b=f, c=g et d=0 car l'équation se réécrit :

dx^3+(a-e)x^2+(b-f)x+(c-g)1=0    (pour tout x réel)

et la famille de fonctions \{x\mapsto1,x\mapsto x,x\mapsto x^2,x\mapsto x^3\} est libre donc :

d=0,\ a-e=0,\ b-f=0 et c-g=0, on retrouve le résultat.

C'est grâce à ce principe qu'on peut "identifier".


2) \boxed{\cdot}

Pour l'équation différentielle j'obtiens ceci :

\large Z_\mathrm{max}\left(\frac{k}{M}-\omega^2\right)\cos(\omega t+\phi)-\frac{\lambda\omega}{M}\sin(\omega t+\phi)=-\frac{A\lambda\omega}{M}\sin(\omega t)\ \ \ (*)

Ce qui donne après développement des sinus et cosinus et en ayant posé \large B=Z_\mathrm{max}\left(\frac{k}{M}-\omega^2\right) :

\blue\large\left[B\cos\phi-\frac{\lambda\omega}{M}\sin\phi\right]\cos(\omega t)+\left[\frac{A\lambda\omega}{M}-\frac{\lambda\omega}{M}\cos\phi-B\sin\phi\right]\sin(\omega t)=0

D'après ce qu'on a vu plus haut on a donc :

\red\boxed{\frac{A\lambda\omega}{M}-\frac{\lambda\omega}{M}\cos\phi-B\sin\phi=0}



Il reste donc à déterminer les valeurs de \cos\phi et \sin\phi :

l'équation (*) évaluée en t=\frac{1}{\omega}(\frac{\pi}{2}-\phi) donne \cos\phi (en fonction de A)

et évaluée en t=-\frac{\phi}{\omega} elle donne \sin\phi  (en fonction de A,B,\lambda,\omega,M)

-----------------


J'espère avoir été compréhensible !

Posté par
zigororore : Problème équation différentielle 22-12-12 à 20:26

Excusez-moi, mais n'auriez-vous pas oublié un Zmax dans l'équation différentielle que vous obtenez ? Car puisque :

z(t)=Zmax*cos(wt+φ),

on a nécessairement :

z'(t)=-w*Zmax*sin(wt+φ)

Ce qui fait que j'obtiens la même équation différentielle que la votre, à la seule différence qu'un Zmax se retrouve en facteur de -((λ*w)/M)*cos(φ)...

Est-ce moi qui me suis trompé ?

Posté par
athrunre : Problème équation différentielle 22-12-12 à 20:53

Non c'est moi qui me suis trompé vous avez raison !

On a donc :

\large\red\boxed{\frac{A\lambda\omega}{M}-\frac{\lambda\omega Z_\mathrm{max}}{M}\cos\phi-B\sin\phi=0}

Soit :

\large\red\boxed{\frac{A\lambda\omega}{M}-\frac{\lambda\omega Z_\mathrm{max}}{M}\cos\phi-Z_\mathrm{max}\left(\frac{k}{M}-\omega^2\right)\sin\phi=0}


Avec les valeurs de cos phi et sin phi on devrait obtenir un polynôme de degré 2 en Zmax du coup..

Posté par
zigororore : Problème équation différentielle 22-12-12 à 21:05

J'obtiens :

Zmax=(λ*A*w)/[(k-(w^2/M))*sin(φ)+λ*w*cos(φ)]

Je suis bien embêté... je ne sais pas comment déterminer le déphasage φ...

Posté par
athrunre : Problème équation différentielle 22-12-12 à 22:47

relis la fin de mon message de 20:05 :

par exemple pour déterminer \cos\phi :


On a :

\large Z_\mathrm{max}\left(\frac{k}{M}-\omega^2\right)\cos(\omega t+\phi)-\frac{\lambda\omega}{M}\sin(\omega t+\phi)=-\frac{A\lambda\omega}{M}\sin(\omega t)

L'équation ci-dessus évaluée en \large t=\frac{1}{\omega}(\frac{\pi}{2}-\phi) donne :

\large\blue0-\frac{\lambda\omega}{M}=-\frac{A\lambda\omega}{M}\sin(\frac{\pi}{2}-\phi)=-\frac{A\lambda\omega}{M}\cos\phi

donc il vient immédiatement :

\red\large\boxed{\cos\phi=\frac{1}{A}}

Posté par
zigororore : Problème équation différentielle 23-12-12 à 10:25

Je pense que vous vous êtes trompé, car vous avez repris votre ancienne équation dans laquelle vous aviez oublié un Zmax en facteur...

Du coup, j'obtiens :

cos(φ)=Zmax/A

...

Posté par
athrunre : Problème équation différentielle 23-12-12 à 10:46

Oui pardon c'est bien cela, maintenant vous pouvez déterminer sin(phi).

Posté par
zigororore : Problème équation différentielle 23-12-12 à 11:33

Voilà l'expression finale de Zmax que j'obtiens.

Cela vous semble-t-il correct ?

\Large Z_{max}=\frac{\lambda A\omega}{\sqrt{M(\frac{k}{M}-\omega^2)^2+\lambda^2\omega^2}}

Edit Coll : image effacée et remplacé par le \LaTeX

Posté par
athrunre : Problème équation différentielle 23-12-12 à 12:12

Il manque juste un carré sur le M :



\blue\huge\boxed{Z_\mathrm{max}=\frac{\lambda A\omega}{\sqrt{M^{\red{2}}\left(\frac{k}{M}-\omega^2\right)^2+\lambda^2\omega^2}}}


On peut le vérifier par homogénéité :


\large[\lambda/M]=[\omega]\ \Rightarrow\ [\lambda]=[\omega M]\ \Rightarrow\ \boxed{[\lambda^2\omega^2]=[M^2\omega^4]}


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