Niveau licence

Préparation TP (Oscillation de systèmes mécaniques)

Posté par
BeHappy13 09-09-17 à 17:10

Bonsoir,

J'éssaye de préparer mon TP sur le phénomène de battement.
Le TP se divise en 3 parties, Pendule simple, Pendule Simple Amorti, et Pendule double couplé à un ressort.

Durant la partie Oscillateur Amorti, je ne comprend pas d'ou vient une des formules.

Le décrement logarithmique est défini comme suit :

$\gamma = ln\frac{f(t)}{f(t+T)}$

Et je bloque là :

$\frac{E(t)-E(t+T)}{E(t)} = 1 - exp(-2\alpha t) \approx 2\alpha T = 2\gamma$

avec T = Pseudo Période, $\alpha$ = Coefficient d'Amortissement, et E(t), évolution de l'énergie mécanique du système.

Personnellement j'arrive sans trop de problèmes à :

$\frac{E(t)-E(t+T)}{E(t)} = 1-exp(-\gamma)$

Mais là, impossible de faire le rapprochement entre $\gamma$ et $\alpha*t$ .

Merci d'avance,

Cordialement

Posté par re : Préparation TP (Oscillation de systèmes mécaniques) 09-09-17 à 17:19

Bonjour
Je pense qu'il y a juste une faute de frappe dans le corrigé. Selon moi :

$\frac{E(t)-E(t+T)}{E(t)} = 1 - exp(-2\alpha T) \approx 2\alpha T = 2\gamma$
Tu aurais dû trouver :

$\frac{E(t)-E(t+T)}{E(t)} = 1-exp(-2\cdot\gamma)$

Posté par re : Préparation TP (Oscillation de systèmes mécaniques) 09-09-17 à 17:24

D'accord, mais quel est le rapport entre le décrement logarithmique de l'énergie mécanique, le coefficient d'amortissement et la pseudo-période ?

J'ai vu sur un site qu'on pouvait facilement démontrer une relation du genre $\gamma =\alpha * T$ (Cf. ).

Auriez vous une piste ???

***Raccourci url ajouté***

Posté par re : Préparation TP (Oscillation de systèmes mécaniques) 09-09-17 à 17:48

Tu dois avoir cela dans ton cours. Pour ce type d'oscillateur avec force (ou couple) de frottement proportionnel à la vitesse, l'élongation en régime transitoire a pour expression générale :

$x(t)=X_{m}.\exp\left(-\alpha.t\right).\cos\left(\omega.t+\varphi\right)$

$x(t+T)=X_{m}.\exp\left(-\alpha.t-\alpha.T\right).\cos\left(\omega.t+\omega.T+\varphi\right)=X_{m}.\exp\left(-\alpha.t-\alpha.T\right).\cos\left(\omega.t+\varphi\right)$

puisque : $\omega.T=2\pi$ .

Dans ces conditions, le décrément logarithmique vérifie :

$\gamma=\ln\left(\frac{x(t)}{x(t+T)}\right)=\alpha.T$

Pour l'expression : $\frac{E(t)-E(t+T)}{E(t)}=1-exp(-2\alpha T)$ : il s'agit d'une expression approchée valide seulement si l'amortissement est faible : $\alpha\ll\omega$ . Je te laisse le soin de la démonstration sur le modèle ci-dessus.

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