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potentiel dans champ electrique constant

Posté par
ferality 06-02-21 à 11:27

Bonjour,

Désolé si ce post est trop basique mais j'ai du mal :/

On nous donne un champ électrique constant orienté vers les x positifs (vers la droite), sans composante en y. On nous demande de dire où sont "qualitativement" situées les charges. Ensuite on considère 4 points dans l'espace, formant un carré : A(0,0), B(3,0), C(3,3), D(0,3).

La question est calculer les différences de potentiel : V_B-V_A, V_C-V_A, V_D-V_A.

Mais on a aucune charge, on sait juste que le champ électrostatique est uniforme en tout point de l'espace... on ne nous dit pas où est défini le potentiel "0".... je ne comprend pas comment je peux faire.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
vanoisere : potentiel dans champ electrique constant 06-02-21 à 12:36

Bonjour
Un champ électrique uniforme peut être créé par deux plaques parallèles de dimensions infinies. Voir modèle du condensateur.

Posté par
vanoisere : potentiel dans champ electrique constant 06-02-21 à 12:38

Tu peux alors assez simplement exprimer V en fonction de x et de la norme du vecteur champ. Tu vas vérifier que les plans perpendiculaires au vecteur champ sont des surfaces équipotentielles.

Posté par
feralityre : potentiel dans champ electrique constant 07-02-21 à 10:39

Bonjour vanoise, désolé pour la réponse tardive

vanoise @ 06-02-2021 à 12:36

Bonjour
Un champ électrique uniforme peut être créé par deux plaques parallèles de dimensions infinies. Voir modèle du condensateur.


j'ai répondu que ce champ était créé par un plan "inifini" de charges avec une certaine densité surfacique de charges, comme j'ai vu dans certains exercices... je crois qu'il n'y a pas besoin de deuxième plaque ?

vanoise @ 06-02-2021 à 12:38

Tu peux alors assez simplement exprimer V en fonction de x et de la norme du vecteur champ. Tu vas vérifier que les plans perpendiculaires au vecteur champ sont des surfaces équipotentielles.


Je ne vois pas comment faire ça ... je connais \vec{E}=-\vec{grad} V et si on nous donnait la distribution de charges on pourrait calculer V avec les intégrales du type V(M) = \iint_S dS\dfrac{\sigma(P)}{4\pi\varepsilon_0PM} mais on ne nous donne rien de tout ça :/

La valeur du potentiel dépend forcément des charges et on a même pas la valeur des distributions de charges.

Posté par
vanoisere : potentiel dans champ electrique constant 07-02-21 à 12:03

Citation :
je crois qu'il n'y a pas besoin de deuxième plaque ?

Tu as raison. J'ai évoqué précédemment les deux plaques car, dès l'enseignement secondaire, on évoque le champ électrique uniforme créé par un condensateur plan.
Je ne pense pas qu'il soit nécessaire ici de démontrer l'expression du vecteur champ électrique en fonction de , la densité surfacique de charge ; cependant, si cela t'intéresse, on pourra en parler après avoir résolu cet exercice.
Ici, il ne faut pas se préoccuper de la façon dont le champ électrique est obtenu. Il faut simplement poser, en coordonnées cartésiennes :

\overrightarrow{E}=E_{x}.\overrightarrow{u_{x}}+E_{y}.\overrightarrow{u_{y}}+E_{z}.\overrightarrow{u_{z}}

avec : E_{y}=E_{z}=0 et E_{x}=E>0 : norme du vecteur champ électrique.

Sachant que : \overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\left(V\right), tu peux projeter cette relation vectorielle sur les trois axes et en déduire l'expression générale du potentiel V. Seules les variations de potentiel ont un sens physique, tu peux donc arbitrairement choisir le point de potentiel nul : pourquoi pas l'origine O du repère ? Facile ensuite d'exprimer en fonction de E les différences de potentiel demandées.

Posté par
feralityre : potentiel dans champ electrique constant 07-02-21 à 12:24

vanoise @ 07-02-2021 à 12:03


Sachant que : \overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\left(V\right), tu peux projeter cette relation vectorielle sur les trois axes et en déduire l'expression générale du potentiel V. Seules les variations de potentiel ont un sens physique, tu peux donc arbitrairement choisir le point de potentiel nul : pourquoi pas l'origine O du repère ? Facile ensuite d'exprimer en fonction de E les différences de potentiel demandées.


D'accord donc j'arrive a \dfrac{\partial V}{\partial x}=E_x et donc V=-\int{E_x} = \dfrac{1}{2}E_x^2 + cste ça paraît très étrange que le potentiel augmente aussi rapidement comme ça ....

Posté par
feralityre : potentiel dans champ electrique constant 07-02-21 à 12:25

Et si j'avais eu Ey et Ez différents de 0, comment j'aurais pu calculer le potentiel avec ces autres valeurs en plus à considérer ?

Posté par
vanoisere : potentiel dans champ electrique constant 07-02-21 à 12:42

Non : il faut considérer la norme du vecteur champ comme fixe. L'intégration conduit donc à V=-E.x +K. (K constante)
Si on pose V=0 à l'origine du repère, la constante K est nulle : V=-E.x avec E=constante.

Citation :
Et si j'avais eu Ey et Ez différents de 0, comment j'aurais pu calculer le potentiel avec ces autres valeurs en plus à considérer ?

Voici un exemple un petit peu plus compliqué. En imaginant un vecteur champ de norme E constante mais incliné de 45° par rapport à l'axe (Ox) dans le plan (Oxy) :

\overrightarrow{E}=E_{x}.\overrightarrow{u_{x}}+E_{y}.\overrightarrow{u_{y}}+E_{z}.\overrightarrow{u_{z}}

avec : E_{z}=0 et E_{x}=E_{y}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot E

Posté par
feralityre : potentiel dans champ electrique constant 07-02-21 à 16:23

D'accord je vois merci.

Donc si je prend l'exemple avec Ex et Ey non nuls j'aurais eu :

-\dfrac{\partial V}{\partial x} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}E donc V_x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}E\cdot x

-\dfrac{\partial V}{\partial y} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}E donc V_y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}E\cdot y

Et V=V_x + V_y = \dfrac{\sqrt{2}}{2}E\cdot x + \dfrac{\sqrt{2}}{2}E\cdot y .. ?

Ca me paraît étrange cette dernière égalité car "V" est censé être une fonction scalaire et donc non composée de plusieurs "parties" de type V_x V_y etc comme les fonctions vectorielles (comme le gradient)

Posté par
vanoisere : potentiel dans champ electrique constant 07-02-21 à 18:11

Intégrer par rapport à x revient à intégrer en supposant y fixe. Dans ce cas, la constante d'intégration peut dépendre de y. Il faut donc poser :

-\dfrac{\partial V}{\partial x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}E\quad donc\quad V=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}E\cdot x+f(y)

Tu reportes cette expression de V dans la seconde relation :

-\dfrac{\partial V}{\partial y}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}E

Cela va te fournir f'(y), ce qui va te permettre d'obtenir V à une constante près, constante que tu peux déterminer en choisissant arbitrairement V=0 à l'origine du repère.
V est une fonction numérique des variables de positions (x,y,z). Les notations Vx, Vy, Vz n'ont pas de sens puisque le potentiel n'est pas un vecteur.

Posté par
feralityre : potentiel dans champ electrique constant 08-02-21 à 20:05

vanoise @ 07-02-2021 à 18:11

Intégrer par rapport à x revient à intégrer en supposant y fixe. Dans ce cas, la constante d'intégration peut dépendre de y. Il faut donc poser :

-\dfrac{\partial V}{\partial x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}E\quad donc\quad V=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}E\cdot x+f(y)

Tu reportes cette expression de V dans la seconde relation :

-\dfrac{\partial V}{\partial y}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}E

Cela va te fournir f'(y), ce qui va te permettre d'obtenir V à une constante près, constante que tu peux déterminer en choisissant arbitrairement V=0 à l'origine du repère.
V est une fonction numérique des variables de positions (x,y,z). Les notations Vx, Vy, Vz n'ont pas de sens puisque le potentiel n'est pas un vecteur.


D'accord merci intéressant comme méthode

vanoise @ 07-02-2021 à 12:42

Non : il faut considérer la norme du vecteur champ comme fixe. L'intégration conduit donc à V=-E.x +K. (K constante)
Si on pose V=0 à l'origine du repère, la constante K est nulle : V=-E.x avec E=constante.


Pourquoi si on pose V=0 à l'origine du repère K doit être nulle ?

Posté par
vanoisere : potentiel dans champ electrique constant 08-02-21 à 20:13

Calculer la dérivée partielle par rapport à y se fait en considérant x comme une constante. Donc, en dérivant l'expression déduite de la première ligne :

-\dfrac{\partial V}{\partial y}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}E=-f'(y)

donc : f(y) = ?
donc V(x,y)= ?

Posté par
feralityre : potentiel dans champ electrique constant 08-02-21 à 22:50

vanoise @ 08-02-2021 à 20:13

Calculer la dérivée partielle par rapport à y se fait en considérant x comme une constante. Donc, en dérivant l'expression déduite de la première ligne :

-\dfrac{\partial V}{\partial y}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}E=-f'(y)

donc : f(y) = ?
donc V(x,y)= ?


J'ai calculé et je suis arrivé à f(y)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}E\cdot y + K avec K une constante d'intégration et donc V = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}E\cdot x -\dfrac{\sqrt{2}}{2}E\cdot y + K. C'est ça ?

Posté par
vanoisere : potentiel dans champ electrique constant 08-02-21 à 23:03

Oui.

Posté par
feralityre : potentiel dans champ electrique constant 08-02-21 à 23:51

Ok merci


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