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Polarisation

Posté par
zebrico 30-10-17 à 17:52

Bonjour à toutes et à tous,

C'est beaucoup agacé que je crée ce topic sur la polarisation des ondes.
En effet je cherche à démontrer la formule de l'ellipticité des ondes et aucun site (car mon prof trop flemmard pour faire la démo) n'est capable de démontrer dans le cas général cette formule, ils ne le font que pour des cas particuliers, c'est dingue ça non!!??
Je définirait d'abord mes notations et ensuite j'en viendrai à mon soucis:

Donc voici ce que j'ai :
Une onde transverse dans le vide[url][/url]

\vec{A}\left(z,t \right)=\vec{A_{x}}\left(z,t \right)+\vec{A_{y}}\left(z,t \right)=a_{x}cos\left(\omega t-kz+\alpha\right)\vec{U_{x}}+a_{y}cos\left(\omega t-kz+\beta\right)\vec{U_{y}}

On pose pour simplifier l'écriture :
\theta \left(t \right)=\omega t-kz+\alpha
et \delta =\beta - \alpha


ce qui permet de réécrire :
A_{x}=a_{x}cos(\theta)
et A_{y}=a_{y}cos(\theta+\delta)

en exprimant cos(\theta) et sin(\theta) puis en élevant au carré et en sommant on tombe sur l'équation d'une ellipse :

(\frac{A_{x}}{a_{x}})^2+(\frac{A_{y}}{a_{y}})^2-2\frac{A_{x}A_{y}}{a_{x}a_{y}}cos(\delta)=sin^2(\delta)

Si on ré-exprime cette équation dans le système d'axes propres en posant \begin{pmatrix} A_{x} \\ A_{y} \end{pmatrix}=P*\begin{pmatrix} A'_{x}\\ A'_{y} \end{pmatrix}

où P=\begin{pmatrix} cos(\phi) & -sin(\phi) \\ sin(\phi) & cos(\phi) \end{pmatrix}

(\frac{A'_{x}}{a})^2+(\frac{A'_{y}}{b})^2=sin^2(\delta)

(et ce car le terme croisé est nul et qui donne la valeur de \phi comme étant le rapport de deux des paramètres de Stokes (tan(2\phi)=\frac{S_{2}}{S_{1}}) mais c'est pas important ici dans cette question)

le problème est ici dans les valeurs a et b...
en effet pour a^2 j'ai :

a^2=(\frac{cos(\phi)}{a_{x}})^2+(\frac{sin(\phi)}{a_{y}})^2-\frac{sin(2\phi)cos(\delta)}{a_{x}a_{y}}

et pour b^2 j'ai :

a^2=(\frac{cos(\phi)}{a_{y}})^2+(\frac{sin(\phi)}{a_{x}})^2+\frac{sin(2\phi)cos(\delta)}{a_{x}a_{y}}

et au moment d'exprimer l'ellipticité qui est
e=\frac{demi-grand-axe}{demi-petit-axe}
et bien mon prof obtient :
e^2=\frac{a_{y}^2cos^2(\phi)-a_{x}^2sin^2(\phi)}{a_{x}^2cos^2(\phi)-a_{y}^2sin^2(\phi)}

ou sinon en utilisant les paramètres de stokes :
e^2=\frac{S_{0}cos(2\phi)-S_{1}}{S_{0}cos(2\phi)+S_{1}}

et franchement j'ai essayé beaucoup de trucs mais rien... Je ne pense pas mettre planté dans l'expression de ma matrice de passage puisque j'obtient la bonne condition sur \phi.


merci d'avance pour votre aide!

Posté par
vanoisere : Polarisation 30-10-17 à 19:19

Bonsoir
Qu'appelles-tu exactement  "éllipticité"  ?  Ne voudrais-tu pas parler plutôt d'excentricité, traditionnellement noté e  et qui se définit par :

e=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}  ??

Posté par
zebricore : Polarisation 30-10-17 à 19:36

Bonsoir Vanoise,

Je l'ai explicité comme le rapport des deux demi axes (le grand sur le petit)

Posté par
zebricore : Polarisation 30-10-17 à 19:39

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipticité_(optique)

mais la formule qu'ils donnent je ne sais pas d'où elle vient donc j'utilise celle que j'ai dans mon cours..

Posté par
vanoisere : Polarisation 30-10-17 à 19:45

a^2=(\frac{cos(\phi)}{a_{x}})^2+(\frac{sin(\phi)}{a_{y}})^2-\frac{sin(2\phi)cos(\delta)}{a_{x}a_{y}}
Problème d'homogénéité : a2 a la dimension physique de ax2 et de ay2

Posté par
zebricore : Polarisation 30-10-17 à 19:48

oui bien vu! j'aurais dû écrire : (\frac{1}{a})^2=...
et de même pour (\frac{1}{b})^2=...

Posté par
zebricore : Polarisation 30-10-17 à 22:23

Re bonsoir Vanoise,

j'ai essayé avec votre formule, j'ai quelque chose de "mieux" (car moins de termes que d'habitude (2 au lieu de 3 au numérateur) mais ce n'est toujours pas ça...

Posté par
vanoisere : Polarisation 30-10-17 à 23:06

L'ellipticité est bien une notion utilisée spécifiquement pour caractériser l'état de polarisation d'une onde électromagnétique et elle n'a rien à voir avec l'excentricité surtout utile en astronomie.
Sans reprendre tous tes calculs : quelques remarques :

(\frac{A'_{x}}{a})^2+(\frac{A'_{y}}{b})^2=sin^2(\delta)
Il me semble préférable de diviser tous les termes par sin2(). Cela va modifier les valeurs de a et b mais pas changer le rapport des deux. Une fois faite cette modification de a et b, tu devrais logiquement obtenir :
a2+b2=ax2+ay2.
Tu trouveras la démonstration de cette égalité  ainsi que d'autres renseignements utiles ici, pages 48 et suivantes :

Posté par
zebricore : Polarisation 30-10-17 à 23:11

Merci beaucoup de votre rechercher Vanoise, comme d'habitude d'une grande aide!


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