Niveau licence

Physique quantique, boîte 1D

Posté par
Mescherin 20-02-20 à 22:12

Bonjour

J'aurais besoin d'aide pour un exercice de physique quantique. Je ne sais pas du tout par où commencer. Je suis assez perdu, ça ne ressemble pas à ce que j'ai fait en TD où on me demandait de chercher les solutions de l'équation de Schrodinger pour différents puits de potentiel...

Voilà l'exercice en question :

Une particule quantique de masse m est piégée dans une boîte à une dimension de longueur a, ce qui signifie qu'elle est soumise à un potentiel V(x) de la forme :
$V(x) = \begin{cases} \\ & \text{ 0 pour } \frac{-a}{2} \prec x  \prec  \frac{a}{2}  \\ \\ & \text{ infini  pour }   x  \prec  \frac{-a}{2}  \:  et \:  x  \succ \frac{a}{2} \\ \end{cases}$

Le système se trouve à l'instant t = 0 dans un état décrit par la fonction d'onde :

$\psi  (x,0) =\frac{2}{\sqrt{a}}cos(\frac{2 \pi }{a}x)cos(\frac{ \pi }{a}x)$         pour         $\frac{-a}{2} \leq x  \leq \frac{a}{2}$     ;   $\psi  (x,0)=0$     partout ailleurs

Questions :

1) Décomposer $\psi (x,0)$   sur la base des fonctions propres de l'énergie (sans faire de calcul intégral)

2) On effectue une mesure de l'énergie à t=0. Quels sont les résultats possibles, avec quelles probabilités et quel est l'état après la mesure ?

3) Quelle est, à t=0, la valeur moyenne et l'écart quadratique moyen de l'énergie ?

Je ne sais pas comment faire et je ne trouve pas dans mon cours

Merci beaucoup d'avance !

Posté par re : Physique quantique, boîte 1D 21-02-20 à 06:24

Bonjour,

Citation :
ce que j'ai fait en TD les solutions de l'équation de Schrodinger pour différents puits de potentiel

Pour le 1, il faut justement utiliser ce que vous avez fait en TD, quelle est l'expression d'une fonction propre pour un puits infini ? Ensuite un peu de trigo : cos(a) cos(b)= ?

Pour le 2, une fois décomposé en fonctions propres, c'est du cours ?

Posté par re : Physique quantique, boîte 1D 21-02-20 à 12:19

Bonjour, merci pour votre réponse

Citation :
Pour le 1, il faut justement utiliser ce que vous avez fait en TD, quelle est l'expression d'une fonction propre pour un puits infini ? Ensuite un peu de trigo : cos(a) cos(b)= ?

Donc il suffit de résoudre l'équation aux valeurs propres :

$H \varphi (x) = E \varphi  (x)$

On me donne en annexe (que je viens de voir) :

$\varphi  (x) = 0  \;  \;  pour  \;  \;  x \prec \frac{-a}{2}  \;  \;  et \;  \;  x \succ  \frac{a}{2}$

et   $Pour \;   \frac{-a}{2} \prec  x \prec  \frac{a}{2} \begin{cases} \\ & \text{ }  \varphi  (x) = \sqrt{\frac{2}{a}} cos(\frac{n \pi x}{a} )\;   si\;   n \;    impair \\ \\ & \text{  }   \varphi  (x) = \sqrt{\frac{2}{a}} sin(\frac{n \pi x}{a} )\;   si\;   n \;    pair \\ \end{cases}$

On décompose $\psi (x,0)$ dans la base des $\varphi (x)$ , ce qui me donne : $\psi (x,0) =\int_{-infini}^{+infini}{| \varphi |² \psi (x,0) \, dx}$

comme 2cos(a)cos(b) = cos(a-b) + cos(a+b), on a $\psi (x,0) = \frac{1}{\sqrt{a}}(cos(\frac{\pi  x}{a} ) +cos(\frac{3 \pi  x}{a}))$

Finalement,   $\psi (x,0) =\int_{-infini}^{+infini}{| \varphi |²( \frac{1}{\sqrt{a}}(cos(\frac{\pi  x}{a} ) +cos(\frac{3 \pi  x}{a})))\, dx}$

Pour la question 2, les résultats possibles sont les valeurs propre de H... Faut-il calculer l'intégrale si dessus pour les cas n pairs et n impairs pour trouver leurs probabilités ?

Merci

Posté par re : Physique quantique, boîte 1D 21-02-20 à 16:07

Bonjour,

La base est discrète (indexée par n), donc c'est une somme pas une intégrale, et une somme qu'il n'est pas nécessaire de calculer, il suffit de faire apparaitre les n : $\frac{1}{\sqrt{a}}\left(\cos(\frac{\pi x}{a})+\cos(\frac{3\pi x}{a})\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1+\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_3$

Pour 2, $\phi_1$ est une fonction propre de H avec comme valeur propre $E_1$ , et idem pour { $\phi_3$ , $E_3$ }, donc les probabilités se "lisent" dans la somme (il ne faudra quand même pas oublier le carré). Vous pouvez poser l'intégrale, mais il est inutile de la calculer explicitement, il suffit d'utiliser le fait que est normalisé.
L'intégrale, écrite de manière symbolique pour alléger, est pour la proba de trouver E1 : : $<\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1\mid\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1>$

Je ne comprends pas trop vos intégrales : c'est une projection donc je ne vois pas d'où sort le carré, et le résultat est l'amplitude de la composante 1 de et non : $a_1 =\int_{-\infty}^{+\infty}{\varphi \psi \, dx}$ , ce qui donne bien $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , sans calcul en utilisant l'orthogonalité de 1 et 2 et $\mid \phi_1\mid^2=1$

Posté par re : Physique quantique, boîte 1D 21-02-20 à 18:22

Ah, tout simplement ! Merci
Je pense que je ne comprends pas vraiment mon cours...

Donc pour ce qui est des probabilité, on a P(E1) = P(E2) = 1/2

Pour l'état après la mesure, je ne sais pas si j'ai le droit mais je suis passé en notation de dirac pour les calculer :
Lorsqu'on trouve E1, l'état après la mesure est $\varphi _{1}$
Lorsqu'on trouve E2, l'état après la mesure est $\varphi _{2}$

Pour la question 3, j'ai une valeur moyenne de l'énergie égale à $\frac{E1 + E2}{2}$ et un écart quadratique égale à $\frac{\sqrt{E1E2}}{2}$

Posté par re : Physique quantique, boîte 1D 21-02-20 à 19:12

Citation :
pour ce qui est des probabilité, on a P(E1) = P(E2) = 1/2

C'est bien cela

Citation :
Lorsqu'on trouve E1, l'état après la mesure est $\phi_1$

Citation :
une valeur moyenne de l'énergie égale à { E1 + E2 }/ 2

OK

J'ai un problème par contre pour l'écart quadratique, supposons E1=E2, alors l'écart est nul, ce que ne donne pas votre expression. Je trouve 1/2 abs(E2-E1).

Posté par re : Physique quantique, boîte 1D 21-02-20 à 20:24

Citation :
J'ai un problème par contre pour l'écart quadratique, supposons E1=E2, alors l'écart est nul, ce que ne donne pas votre expression. Je trouve 1/2 abs(E2-E1).

Ah oui en effet, j'ai refait le calcul et je trouve $\frac{\left|E2 - E1 \right|}{2}$

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