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Physique et outils mathématiques

Posté par
Eric1 22-12-06 à 16:23

Bonjour:
Je dois montrer que rot(rot (vecteur a))=grad(div (vecteur a))-laplacien (vecteur a).

J'ai développpé chaque expression:

Je trouve: rot(a)=ex ((Az/y)-(Ay/z)
+ey ((Ax/z)-(Az/x)
+ez ((Ay/x)-(Ax/y))

Je simplifie l'écriture:
rot(rot(a))=ex(dAy/xy-dAx/yy-dAx/zz+dAz/xz)
+ey(dAz/xz-dAy/zz-dAy/xx+dAx/yx)
+ez(dAx/xz-dAz/xx-dAz/yy+dAy/zy)

Pour le grad(div(a)), j'ai :

ex(dAx/xx+dAy/yx+dAz/zx)
+ey(dAx/xy+dAy/yy+dAz/zy)
+ez(dAx/xz+dAy/yz+dAz/zz)

Et si j'enleve le laplacien, il y a trois memebres qui se simplifient, et je ne trouve pas le bon résultat. Où ai-je faux. pouvez-vous m'aider...

Posté par
ottore : Physique et outils mathématiques 22-12-06 à 18:05

Salut,
tu devrais utiliser tex pour plus de lisibilité.
delta -> \partial
fraction -> \frac{num}{denom}

Posté par
Eric1re : Physique et outils mathématiques 22-12-06 à 18:20

\\ \\ rot a=e_x(\frac{\partial{A_z}}{\partial y}-\frac{\partial{A_y}}{\partial z})+e_y(\frac{\partial{A_y}}{\partial z}-\frac{\partial{A_z}}{\partial x}) +e_z(\frac{\partial{A_y}}{\partial x}-\frac{\partial{A_x}}{\partial y}) \\ \\ rot(rot(a))=e_x(\frac{\partial^2{A_y}}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2{A_x}}{\partial y\partial y}-\frac{\partial^2{A_x}}{\partial z\partial z}+\frac{\partial^2{A_z}}{\partial x\partial z}) \\ +e_y(\frac{\partial^2{A_z}}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2{A_y}}{\partial z\partial z}-\frac{\partial^2{A_y}}{\partial x\partial x}+\frac{\partial^2{A_x}}{\partial y\partial x}) \\ +e_z(\frac{\partial^2{A_x}}{\partial x\partial z}-\frac{\partial^2{A_z}}{\partial x\partial x}-\frac{\partial^2{A_z}}{\partial y\partial y}+\frac{\partial^2{A_y}}{\partial z\partial y}) \\ \\ \\ Est-ce que ca c'est déja bon? \\

Posté par
Eric1re : Physique et outils mathématiques 22-12-06 à 18:21

\\ \\ rot a=e_x(\frac{\partial{A_z}}{\partial y}-\frac{\partial{A_y}}{\partial z})+e_y(\frac{\partial{A_y}}{\partial z}-\frac{\partial{A_z}}{\partial x}) +e_z(\frac{\partial{A_y}}{\partial x}-\frac{\partial{A_x}}{\partial y}) \\ \\ rot(rot(a))=e_x(\frac{\partial^2{A_y}}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2{A_x}}{\partial y\partial y}-\frac{\partial^2{A_x}}{\partial z\partial z}+\frac{\partial^2{A_z}}{\partial x\partial z}) \\ +e_y(\frac{\partial^2{A_z}}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2{A_y}}{\partial z\partial z}-\frac{\partial^2{A_y}}{\partial x\partial x}+\frac{\partial^2{A_x}}{\partial y\partial x}) \\ +e_z(\frac{\partial^2{A_x}}{\partial x\partial z}-\frac{\partial^2{A_z}}{\partial x\partial x}-\frac{\partial^2{A_z}}{\partial y\partial y}+\frac{\partial^2{A_y}}{\partial z\partial y}) \\ \\
Est-ce que ca c'est déja bon?

Posté par
ottore : Physique et outils mathématiques 22-12-06 à 18:23

C'est mieux, je regarderais ca quand j'aurais un moment.
a+

Posté par
Eric1re : Physique et outils mathématiques 22-12-06 à 18:24

Merci otto

Le rotationnel, je pense que j'ai bon, mais c'est le gravient de la divergence

Posté par
Eric1re : Physique et outils mathématiques 22-12-06 à 21:51

\\ \\ div(a)=\frac{\partial{A_x}}{\partial x}+\frac{\partial{A_y}}{\partial y}+\frac{\partial{A_z}}{\partial z} \\ grad(div(a))=e_x(\frac{\partial^2{A_x}}{\partial x\partial x}+\frac{\partial^2{A_y}}{\partial y\partial x}+\frac{\partial^2{A_z}}{\partial z\partial x}) +e_y(\frac{\partial^2{A_x}}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2{A_y}}{\partial y\partial y}+\frac{\partial^2{A_z}}{\partial z\partial y}+e_z(\frac{\partial^2{A_x}}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2{A_y}}{\partial y\partial z}+\frac{\partial^2{A_z}}{\partial z\partial z}) \\ \\ grad(div(a))-Laplacien(a)=e_x(\frac{\partial^2{A_y}}{\partial y\partial x}+\frac{\partial^2{A_z}}{\partial z\partial x}) +e_y(\frac{\partial^2{A_x}}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2{A_z}}{\partial z\partial y}+e_z(\frac{\partial^2{A_x}}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2{A_y}}{\partial y\partial z}) \\ \\ Il y a donc quelquechose qui cloche, peut-être le Laplacien??? \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\

Posté par
Eric1re : Physique et outils mathématiques 22-12-06 à 21:51

\\ \\ div(a)=\frac{\partial{A_x}}{\partial x}+\frac{\partial{A_y}}{\partial y}+\frac{\partial{A_z}}{\partial z} \\ grad(div(a))=e_x(\frac{\partial^2{A_x}}{\partial x\partial x}+\frac{\partial^2{A_y}}{\partial y\partial x}+\frac{\partial^2{A_z}}{\partial z\partial x}) +e_y(\frac{\partial^2{A_x}}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2{A_y}}{\partial y\partial y}+\frac{\partial^2{A_z}}{\partial z\partial y}+e_z(\frac{\partial^2{A_x}}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2{A_y}}{\partial y\partial z}+\frac{\partial^2{A_z}}{\partial z\partial z}) \\ \\ grad(div(a))-Laplacien(a)=e_x(\frac{\partial^2{A_y}}{\partial y\partial x}+\frac{\partial^2{A_z}}{\partial z\partial x}) +e_y(\frac{\partial^2{A_x}}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2{A_z}}{\partial z\partial y}+e_z(\frac{\partial^2{A_x}}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2{A_y}}{\partial y\partial z}) \\ \\ \\ \\ \\
Il y a donc quelquechose qui cloche, peut-être le Laplacien???

Posté par
ottore : Physique et outils mathématiques 22-12-06 à 21:59

Tu ne t'es pas trompé dans le rotationnel ?
J'avoue qu'effectuer les calculs ne m'excite pas trop.

Note que dériver par y et ensuite par x s'écrit
d/(dxdy) et non d/(dydx) comme tu le fais, mais l'erreur ne viendra surement pas de là.
a+

Posté par
Eric1re : Physique et outils mathématiques 22-12-06 à 22:00

D'après Schwartz, c'est la même chose.. a est continu...pourquoi pas..

Posté par
ottore : Physique et outils mathématiques 22-12-06 à 22:01

Si a est C² c'est vrai, mais fais quand même attention.

Posté par
Eric1re : Physique et outils mathématiques 22-12-06 à 22:04

Mais, là je l'ai fais car ca m'arrangeait les copier coller...


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