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[PHYSIQUE] "Dérivation thermique"

Posté par
iSirrol 11-11-15 à 20:49

Bonsoir

\ell=\ell_0(1+\lambda\theta-\dfrac{F}{Es})

Je dois calculer \dfrac{\partial\ell}{\partial T}

mon problème est le suivant je ne sais pas si je peux dire que \theta se dérive par rapport à T sachant que  \theta et T sont les notations usuelles des températures en degré Celcius et en Kelvin

Merci

***Edit gbm***

Posté par
vanoisere : "dérivation thermique" 11-11-15 à 20:59

Bonsoir,
Une variation de température à la même valeur qu'elle soit exprimée dans l'échelle Celsius ou en kelvins.  La dérivée par rapport à T est la même que par rapport à . Pour t'en convaincre :   =  (T-273,15) ; cela conduit bien à dT = d

Posté par
iSirrolre : "dérivation thermique" 11-11-15 à 21:01

c'est ce que je me suis dis aussi mais je voulais en etre certain

Posté par
iSirrolre : "dérivation thermique" 12-11-15 à 18:39

j'ai
\ell=\ell_0(1+\lambda\theta-\dfrac{F}{Es})
\mathrm d \Psi=\ell\mathrm d F-S\mathrm d T et
\mathrm d S=\dfrac{C_F}{F}\mathrm d T+\phi(T,F)\mathrm d F

ceci m'est donné comme étant la différentielle de l'entropie, mais une analyse dimensionnelle montre qu'il s'agit en fait de la différentielle de l'entropie massique (donc à priori S n'a pas la même dimension dans la première et la deuxieme expression)
C_F:chaleur massique à traction constante
F:norme de la tension du barreau
\lambda:coefficient de dilatation linéaire (en °C^{-1})
s:section du barreau
E:module d'Young

BREF !

ma question est de savoir comment déterminer \phi(T,F) avec le théorème de schwatz mon raisonnement est de dire \dfrac{\partial}{\partial T} \dfrac{\partial\Psi}{\partial F} =-\phi(T,F)=\dfrac{\partial}{\partial F} \dfrac{\partial\Psi}{\partial T}=\lambda \ell_0
ca n'a pas l'air d'etre ca puisque ce n'est pas homogène

Posté par
vanoisere : "dérivation thermique" 12-11-15 à 19:09

Bonsoir,
Panne du serveur TEX apparemment  , soit indulgent sur les notations...
remarque préliminaire : il suffirait que C_F désigne la capacité thermique à traction constante de la tige plutôt que la capacité thermique massique pour régler le problème d'homogénéité. D'ailleurs, très souvent, on utilise la lettre C majuscule pour les capacités thermiques et la lettre c minuscule pour les capacités thermiques massiques.
Quels renseignements sur la fonction d'état PSI peux-tu fournir ? J'imagine qu'il s'agit de l'analogue dans ce contexte de l'enthalpie libre mais ???
Es-tu bien sûr du " F" au dénominateur dans l'expression de dS ? Il ne s'agirait pas plutôt de T ???

Posté par
iSirrolre : "dérivation thermique" 12-11-15 à 19:21

vanoise @ 12-11-2015 à 19:09


Es-tu bien sûr du " F" au dénominateur dans l'expression de dS ? Il ne s'agirait pas plutôt de T ???


Non bien vu effectivement il s'agit de T #alertecoquille

vanoise @ 12-11-2015 à 19:09


Quels renseignements sur la fonction d'état PSI peux-tu fournir ? J'imagine qu'il s'agit de l'analogue dans ce contexte de l'enthalpie libre mais ???


effectivement c'est bien l'analogue de l'enthalpie libre, je ne peux rien dire de plus elle a été introduite comme \Psi=U+F\ell-TS

je pense avoir réussit à résoudre le soucis:
appelons S_{ma} la fonction qui m'est donné en différentielle \mathrm d S_{ma}=\dfrac{C_F}{T}\mathrm d T+\phi(T,F)\mathrm d F

j'ai \mathrm d S=\rho s \ell\mathrm d S_{ma}
ce qui me donne \phi(T,F)=-\dfrac{\lambda \ell_0 }{\rho s \ell}
cette fois l'expression est bien homogène donc elle doit etre juste

Posté par
vanoisere : "dérivation thermique" 12-11-15 à 20:37

Tu résous effectivement le problème d'homogénéité de d'expression de dS mais alors, il faudra modifier l'expression de en conséquence...
Franchement, à ta place, je supprimerais le mot massique de la définition de CF ; je suis presque sûr que, si le concepteur de l'exercice avait voulu faire raisonner avec la capacité thermique massique, il aurait utilisé un c minuscule.

Posté par
iSirrolre : "dérivation thermique" 12-11-15 à 21:29

non mais j'ai une valeur numérique: donc c'est forcément la dénomination adaptée
C_F=420\rm J.kg^{-1}.K^{-1}:chaleur massique à traction constante

Posté par
iSirrolre : "dérivation thermique" 12-11-15 à 21:45

comment convertir mon \lambda =1.2\times10^{-5}\rm °C^{-1} en K^{-1}?

Posté par
vanoisere : "dérivation thermique" 12-11-15 à 22:16

OK pour ton expression de phi.
Compte tenu de ce que nous avons déjà échangé sur le sujet (dT = d...), dans ce contexte, peut se mesurer indifféremment en °C-1 ou en K-1, le résultat de la mesure étant identique.

Posté par
iSirrolre : "dérivation thermique" 12-11-15 à 22:59

oui mais si on prend 10°C ou 283K on aurait dans un cas \lambda T qui vaudra
1.2\times10^{-4} et dans l'autre cas 3.4\times10^{-3} ca aura forcément un infulence sur la valeur numérique ...

Posté par
vanoisere : "dérivation thermique" 12-11-15 à 23:00

Pour compléter ma réponse précédente (excuse cette communication hachée : le serveur TEX ne fonctionne ce soir que par intermittence) :
lo représente la longueur en absence de traction à une température o repérée dans l'échelle Celsius :o=To-273,15
L'équation d'état devrait donc rigoureusement s'écrire indifféremment d'une de ces deux façons :
l=l_{0}\left[1+\lambda\left(\theta-\theta_{0}\right)-\frac{F}{E\cdot s}\right]
ou :
l=l_{0}\left[1+\lambda\left(T-T_{0}\right)-\frac{F}{E\cdot s}\right]

Avec un tel énoncé, je pense que tu n'aurais eu aucun problème !

Posté par
iSirrolre : "dérivation thermique" 12-11-15 à 23:13

Mon problème est beaucoup plus compliqué que ca:
voila ce qu'il en est

\mathrm dU=[\rho s\ell_0C_F(1-\dfrac{F}{Es})-F\ell_0\lambda]\mathrm dT+[\rho s\ell_0\lambda C_F]T\mathrm dT+[\dfrac{\ell_0}{Es}]F\mathrm dF-[\ell_0\lambda T]\mathrm dF

F varie de : 0 à F_0
\Delta T est ce que l'on cherche à déterminer
j'aimerai intégrer cela pour obtenir une équation du second degré en \Delta T

seuls petits bémols:
-[\ell_0\lambda {\color{red}T}]\mathrm dF on ne connait aucune température dans le problème la valeur numérique est donc incalculable. aurait fait une erreur?
-je ne peux pas avoir dans la même application numérique des C_F en \rm J.kg^{-1}.K^{-1} et des \lambda en \rm °C^{-1} compte tenu du message de 22h59

Posté par
vanoisere : "dérivation thermique" 12-11-15 à 23:56

Voici ce que j'obtiens en notant CF la capacité thermique, pas la capacité thermique massique, à toi de corriger si tu veux...
\begin{cases} \\ \delta Q=C_{F}\cdot dT-l_{0}\lambda T\cdot dF & dU=C_{F}\cdot dT-l_{0}\lambda T\cdot dF-F\cdot dl\\ \\ dl=\left(\frac{\partial l}{\partial T}\right)_{F}\cdot dT+\left(\frac{\partial l}{\partial F}\right)_{T}\cdot dF & dl=l_{0}\lambda\cdot dT-\frac{l_{0}}{Es}\cdot dF\\ \\ dU=\left(C_{F}-Fl_{0}\lambda\right)dT+\left(\frac{l_{0}F}{Es}-l_{0}\lambda T\right)dF & dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{F}\cdot dT+\left(\frac{\partial U}{\partial F}\right)_{T}\cdot dF\\ \\ \text{par identification :}\\ \\ \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{F}=C_{F}-Fl_{0}\lambda & \left(\frac{\partial U}{\partial F}\right)_{T}=\frac{l_{0}F}{Es}-l_{0}\lambda T\\ \\ U=C_{F}T-Fl_{0}\lambda T+f(F) & U=\frac{l_{0}F^{2}}{2Es}-l_{0}\lambda TF+g(T)\\ \\ \text{synthèse (à une constante arbitraire près)} & \boxed{U=C_{F}T-Fl_{0}\lambda T+\frac{l_{0}F^{2}}{2Es}} \\ \end{cases}

surtout à cette heure-ci, une étourderie ou une erreur de transcription sous TEX est toujours possible mais tu as au moins la méthode générale.

Posté par
vanoisere : "dérivation thermique" 13-11-15 à 12:18

Bonjour,
Juste une remarque générale à propos des degrés Celsius et des kelvins. Tu t'es posé beaucoup de questions à ce sujet et c'était très bien !
Contrairement à T, grandeur physique mesurable, est simplement une grandeur repérable sur une échelle. Pour toute grandeur physique, le quotient de deux valeurs numériques doit avoir un sens physique. Multiplier T par deux pour un gaz sous faible pression a un sens : cela correspond à multiplier par deux son énergie interne. De même, un rapport de deux températures absolues correspond pour de nombreux cycles thermodynamiques à un rapport de deux transferts thermiques...
En revanche : si, un matin d'hiver la température extérieure est de 1°C et qu'elle est de 10°C le midi : peux-tu dire que la température a été multipliée par 10 ? Et si elle était de 0°C le matin : que dirais-tu ?
Un conseil pour terminer : si un problème un peu compliqué susceptible de faire intervenir T (par le biais de l'entropie par exemple), tu as tout intérêt à remplacer par (T - To) avec To = 273,15K.
Ainsi : . = (T-To)
On voit clairement de cette façon que :
1° : se mesure indifféremment en °C-1 ou en K-1
2° :
\left(\frac{\partial l}{\partial T}\right)_{F}=\left(\frac{\partial l}{\partial\theta}\right)_{F}=\lambda\cdot l_{0}

Posté par
iSirrolre : "dérivation thermique" 13-11-15 à 13:27

Merci pour les précisions c'était utile. D'autre part jai du faire des erreurs de raisonnements pour établir l'expression.

Posté par
vanoisere : "dérivation thermique" 13-11-15 à 13:31

Citation :
Merci pour les précisions c'était utile

De rien !
Assure toi d'avoir bien compris la méthode de passage de dU à U : c'est un grand "classique" dans les problèmes de physique !

Posté par
iSirrolre : "dérivation thermique" 13-11-15 à 13:35

en fait \mathrm d U m'est déjà donné c'est simplement :
\mathrm d U=T\mathrm dS-F\mathrm d\ell

Posté par
vanoisere : "dérivation thermique" 13-11-15 à 13:58

Effectivement, l'obtention de dU ne pose pas de gros problème ; c'est le passage de l'expression de dU à celle de U qui est plus délicate  : compte tenu des trois paramètres d'états, une simple intégration n'est pas possible, d'où la nécessité de bien comprendre la méthode que je t'ai exposée.


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