Tout ceci est du cours de Tle S.


Déjà, tu peux remarquer que dans équation de parabole, tu as v0.sin().x / v0.cos() = x.tan(), ce qui devrait te permettre de simplifier tant soit peu ton expression de z(x)


Ceci dit, il ne manque un facteur (1/2) dans ton expression de z(x).

z(x) = -(g.x²)/ (2.v0².cos²) + x.tan()






Première façon de procéder (lourde et très longue !!!)

1) La valeur maximale H atteinte par ta parabole est atteinte lorsque sa dérivée est nulle.
Tu dérives z(x) et tu résous dz/dx = 0 = ...  pour trouver la valeur de x, ainsi, tu auras l'expression de H en fonction de .
(perso, je n'aime pas trop dériver des fonctions trigo... )


2) La nouvelle fonction ainsi introduite H() est maximale pour un certain angle , càd quand sa dérivée par rapport à dH/d = 0




Deuxième façon de procéder (plus simple et plus rapide !!!) :
Quand le boulet atteint la hauteur maximale H, sa composante verticale de la vitesse v_z est nulle (puisque dans la première phase, le boulet montait et perdait de la vitesse, puis redescend donc)

Ainsi, comme tu as certainement calculer les équations horaires juste avant, suffit de résoudre v_z = 0, tu trouves la valeur de t.

Enfin, dans l'expression de z(t), tu remplaces par la valeur au-dessus, tu trouves une fonction dépendant de , à discuter selon






Dernière façon de procéder (judicieuse et très rapide !)
Etant donné que l'on néglige les frottements, il y a donc conservation de l'énergie mécanique au cours du mouvement.

Donc Em = Ec + Ep = Constante.

Or
au départ, Em = Ec(départ) + 0 = 1/2.m.v0²
au sommet de la courbe, Em = (1/2).m.v² + m.g.H
La vitesse au sommet v = (v_x² + v_z²) = v0.cos²() car v_x = cste = v0x et v_z = 0 au sommet de la courbe !

En égalisant les deux et en divisant par (1/2).m.v0², on obtient donc :
1 = cos²() + g.H/(2.v0²)

En faisant passer cos²() de l'autre côté, on a donc :
1 - cos²() = sin²() = g.H/(2.v0²)
(formulaire de trigo)


D'où H() = 2.v0².sin²()/g

Cette fonction H() est maximale quand sin²() = 1, càd, quand sin() = 1, càd quand = /2










Pour le point de chute...
Au point de chute, on a :
z(x) = 0 = -g/(2.v0².cos²).x² + x.tan()

càd :
-g.x² + x.tan().2v0².cos²() = 0

équivalent à
x = 0 (origine, au canon)

ou
-g.x + 2.v0².cos().sin() = 0  (après simplification tan, sin, cos)

D'où x = 2.v0².cos().sin() (que l'on appelle portée d)


De plus, on peut remarquer que 2.cos().sin() = sin(2)

D'où d() = v0².sin(2)

Cette fonction est maximale quand sin(2) = 1, càd quand 2 = /2
D'où une portée d maximale quand = /4

Voilou, voilou !