Bonjour beatri658902,

(on s'est déjà croisés sur le forum, mais je ne me rappelle plus à propos de quel exercice...),

les expressions que tu donnes ne font intervenir que deux coordonnée de M : r et : on n'est donc pas à proprement parler en coordonnées sphériques, ou alors dans le cas particulier où on prend la troisième coordonnée () nulle ; ni en coordonnées cylindriques, à moins de prendre la troisième coordonnée (z) nulle aussi.

Va voir ici : : ce sont les expressions de la vitesse et de l'accélération en coordonnées cylindriques, et en effet si on fait z = z' = z" = 0 on retrouve bien l'expression du vecteur a : a = (r" - r'²)er + (2r'' + r")e.. Je mets les vecteurs en gras et les dérivées temporelles avec ' et " plutôt que de faire des points, on gagne un temps fou !

Je t'ai envoyé sur ce site car la figure est très claire, ce qui me dispense d'en faire une.

Si l'accélération est radiale, alors elle n'a qu'une composante sur er, et donc la composante orthoradiale est nulle : 2r'' + r" = 0.
On peut intégrer cette relation, mais il est plus simple de partir de l'intégrale, puisque tu la connais, et de la dériver :

Je pars donc de l'expression r²' et je dérive par rapport au temps :
la dérivée temporelle de r² est 2.r.r' ;
la dérivée temporelle de ' est bien sûr " ;
et on dérive un produit, donc (r²')' = 2r.r'.' + r²." = r(2r'' + r").
Dans la parenthèse on retrouve la composante orthonormale de l'accélération ; puisqu'elle est nulle dans le cas d'un mouvement à accélération centrale, c'est que la quantité r²' est une constante du mouvement.  OK ?

Tu as sans doute déjà donné en cours un sens à cette grandeur cinématique : on montre que la vitesse aréolaire est A = (1/2)r²' : elle est donc constante pour un mouvement à accélération centrale. Plus important pour la physique, le moment cinétique par rapport à O d'une particule de masse m est un vecteur de norme L/O = mr²' : pour un mouvement à forces centrales (attraction gravitationnelle, attraction électrique), le moment cinétique est donc constant.

Ca y est, j'ai retrouvé l'exercice pour lequel je t'avais répondu : c'est ici petite question dérivé, c'était le mois dernier jour pour jour, et figure-toi qu'à cette occasion je t'avais déjà envoyé sur le même site qui expliquait (très bien) les composantes de la vitesse et de l'accélération en coordonnées polaires ! Je constate que tu n'as pas fait beaucoup de progrès depuis ce temps...

Bonjour beatri658902,

je t'ai fait une très mauvaise réponse dans mon post d'hier soir, c'est en le relisant ce matin que je m'en suis rendu compte : "Je constate que tu n'as pas fait beaucoup de progrès depuis ce temps..." : je voulais simplement dire que ton cours n'avait pas beaucoup avancé en un mois, et non mettre ton travail en cause puisque tu n'y es pour rien. Désolé pour cette remarque équivoque, oublie-la stp.  BB.