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Pendule
Un pendule simple OA de longueur L-1m est constitué par une bille A de Masse M=100g.
On écarte ce pendule d'un angle α=30° par rapport à la verticale et on lâche.
-Quelle est la vitesse v de la bile A quand elle passe par la verticale ?
-Quelle sont, à cet instant, la quantité de mouvement et l'énergie cinétique de la bille A ?
En arrivant à la verticale, la bille A heurte une autre bille B de masse m qui est au repos. En Admettant que, dans le choc, la quantité de mouvement et l'énergie cinétique du système (A, B) se conservent, montrer que
-La vitesse VA de la bille A aussitôt après le choc s'écrit
VA=(v(M-m))/(M+m)
-La vitesse VB de la bille aussitôt après le choc s'écrit
VB=2vM/(M+m)
-Calculer VA et VB pour m=50g, 100g et 150g et expliquer ce qui se passe dans chaque cas.
Soit h la différence d'altitude de la bille entre sa position avec le fil faisant l'angle alpha = 30° et lorsque le fil est vertical:
h = L.(1 - cos(30°)) = 1 * (1 - cos(30°)) = 0,134 m
Soit V la vitesse de la bille quand elle passe par la verticale : (1/2).M.V² = M.gh
V² = 2gh = 2,63
V = 1,62 m/s
Ec = (1/2).M.v² = (1/2) * 0,1 * 2,63 = 0,131 J
quantité de mouvement : M.v = 0,1 * 1,62 = 0,162 kg.m/s
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Conservation de la quantité de mouvement: M.V + m*0 = M.Va + m.Vb
Conservation de l'énergie cinétique : (1/2).M.V² + (1/2).m.0² = (1/2).M.Va² + (1/2).m.Vb²
On a donc le système :
M.V = M.Va + m.Vb
M.V² = M.Va² + m.Vb²
On élimine Vb ...
Vb = (M.V - M.Va)/m = (M/m).(V-Va)
M.V² = M.Va² + m.[(M/m).(V-Va)]²
M.V² = M.Va² + (M²/m).(V-Va)²
M.(V²-Va²) = (M²/m).(V-Va)²
M.(V-Va).(V+Va) = (M²/m).(V-Va)²
(V+Va) = (M/m).(V-Va)
Va(1 + (M/m)) = V((M/m) - 1)
Va.(m+M) = V(M-m)
Va = V.(M-m)/(M+m)
Vb = (M/m).(V-Va)
Vb = (M/m).(V- V.(M-m)/(M+m))
Vb = (M/m).(V.(M+m-M+m)/(M+m))
Vb = (M/m).(V.2m/(M+m))
Vb = 2.M.* V/(M+m)
Vb = 2V.M/(M+m)
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Sauf distraction. 
1-Quelle est la nature du mouvement de la bille B à partir du choc avec la bille A jusqu'à son arrivée sur le sol situé à 2 mètres au dessous de la table.
2- apres le choc quelle sera l'amplitude angulaire du pendule OA ,?
en deduire que le mouvement de la bille A peut etre considéré comme pratiquement sinusoidal ? Donner sa periode d'oscillation.
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