Niveau maths spé

Particule chargée et solénoïde

Posté par
Lupa99 24-03-18 à 16:48

Bonjour,

Dans un exercice ( exercice préliminaire du sujet ENS PC C 2015 : https://www.ens.fr/IMG/file/concours/2015/PC/sujets/sujet_pc_phycu.pdf) j'ai quelques soucis de compréhension sur quelques unes des question :

On considère un solénoïde infini d'axe (Oz) et de rayon R, n spires par mètre, parcourues par un courant I à t<0. Une particule chargée est située à une distance r>R (donc en dehors du solénoïde), est au repos à t=0.

J'ai trouvé que le solénoïde induit un champ B uniforme à l'intérieur du solénoïde (nul à l'extérieur), et qu'un champ E est crée par la particule chargée (radial par rapport à la particule).

La question sur laquelle je bloque totalement est la suivante :

- à t=0, on coupe brusquement le courant I. Expliquer qualitativement pourquoi la particule se met en mouvement.

Je ne vois pas du tout pourquoi. La particule est au repos, donc la somme des forces est nulle. Elle n'est soumise -selon moi- a aucune force car le champ B est nul à l'extérieur.
A moins qu'il ne l'est pas/qu'il existe un champ E induit à l'extérieur par le solénoïde ?

Ou alors, la variation brutale du champ B induit par induction un champ E extérieur, mais dans ce cas E est proportionnel à la dérivée temporelle de B, mais lors d'un "saut" comme ça, la dérivée me semble infinie (pour moi un saut = une portion affine de pente infinie).

Pouvez vous m'éclairer ?

(s'il manque des informations, la lecture du sujet jusqu'à la Q.5 peut apporter les étapes du raisonnement. Mais sinon, n'hésitez pas à me demander !)

Je vous remercie par avance !

Posté par re : Particule chargée et solénoïde 24-03-18 à 18:51

Bonjour
Soit un cercle de rayon r>R. Il délimite un disque. Le flux à travers ce disque vaut :
B..R². Le signe dépend de la convention d'orientation de ce cercle. À la coupure du courant, ce flux tend rapidement vers zéro. Il y a bien apparition d'un champ électrique induit dont l'expression peut être calculée par la formule(1) de Q4.
On ne te demande pas d'établir l'expression de ce vecteur champ électrique en fonction du temps mais seulement de fournir la variation de quantité de mouvement de la particule. Ce que tu peux obtenir en intégrant la RFD écrite sous la forme :

$\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\overrightarrow{F}=q.\overrightarrow{E}$

$\triangle\overrightarrow{p}=\intop_{0}^{\Delta t}q.\overrightarrow{E}.dt$

Posté par re : Particule chargée et solénoïde 24-03-18 à 19:37

Merci pour votre réponse, tout est clair sur ce que vous m'avez expliqué !

Maintenant, pour le calcul de E lors de la coupure, j'ai un petit (gros) doute. Voici ce que j'ai fais :

Pour un cercle C passant par la charge q de rayon r et dont l'origine est sûr l'axe (Oz), on a :
$E\times 2\pi r = -\dfrac{d}{dt}B\pi R^2$
Or, $\dfrac{d}{dt}B = \dfrac{(B(t)-B(t+dt))}{dt} = -B/dt$
Donc $E\times 2\pi r = \dfrac{B}{dt}\pi R^2$
et : $E = \dfrac{B\pi R^2}{dt}$ , mais j'avoue ne pas être fière de mon dt qui traîne, je l'enlève comme par magie dans l'intégrale que vous m'avez proposé, en "simplifiant" les dt...

Comment faire pour exprimer E de manière rigoureuse ?

Ensuite, question 7 on me demande d'en déduire la valeur de la quantité de mouvement obtenue pour $t = \infty$ . Avec l'expression que je trouve, je n'ai pas une intégrale convergente. Donc à moins que l'expression juste soit convergente, est-ce qu'il faut conclure par des arguments physiques (du style, la conservation du mouvement en absence de force extérieures) ?

Posté par re : Particule chargée et solénoïde 24-03-18 à 19:38

(Petite coquille : je voulais dire $E = \dfrac{BR^2}{2rdt}$ , qui doit toujours être faux cela dit)

Posté par re : Particule chargée et solénoïde 24-03-18 à 20:01

Citation :
mais j'avoue ne pas être fière de mon dt qui traîne

Tu as raison !
Par raison de symétrie, le vecteur champ électrique induit est dirigée par $\overrightarrow{u_{\theta}}$ et est indépendant de r :

$E_{\theta}\times2\pi r=-\dfrac{d}{dt}\left(B\pi R^{2}\right)=-\pi R^{2}.\frac{dB}{dt} \\ \\ \frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\overrightarrow{F}=q.\overrightarrow{E}=-q.\frac{R^{2}}{2r}.\frac{dB}{dt}.\overrightarrow{u_{\theta}} \\ \\ \triangle\overrightarrow{p}=\intop_{0}^{\Delta t}q.\overrightarrow{E}.dt=-q.\frac{R^{2}}{2r}.\overrightarrow{u_{\theta}}\cdot\intop_{0}^{\Delta t}\frac{dB}{dt}.dt \\ \\ \triangle\overrightarrow{p}=-q.\frac{R^{2}}{2r}.\overrightarrow{u_{\theta}}\cdot\left(-B\right)=q.B\cdot\frac{R^{2}}{2r}.\overrightarrow{u_{\theta}}$

Posté par re : Particule chargée et solénoïde 25-03-18 à 09:56

D'accord je vois ! Merci beaucoup ! C'est vrai que je voulais absolument retirer le dt avant, c'est c'est mieux comme ça !
Merci beaucoup pour votre aide

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