Niveau licence

Oscillateur harmonique en MQ

Posté par
ScientistH 17-11-17 à 00:41

Bonjour/Bonsoir,
j'ai bientôt un examen de maths/physique, je fais donc quelques annales pour me préparer au mieux.
Cependant un des exercices me pose problème.
Voici l'énoncé :
Soient Q et P des opérateurs hermitiens agissant sur un espace hilbertien de dimension non finie $\mathcal{H}$ . On pose :
$A=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q+iP)$

Je vous passe les questions dont je suis sûr pour me focaliser sur celle dont j'aurais besoin d'une correction/aide.
On considère $A^+$ l'adjoint de A.

2) On suppose que [Q,P]= $i Id$ (où Id représente l'opérateur identité sur $\mathcal{H}$ ). Évaluer le commutateur [A, $A^{+}$ ]
Réponse :
$[A,A^{+}$ ]= $\frac{1}{2}[Q+iP,Q-iP]=\frac{1}{2}([Q,Q]-[Q,iP]+[iP,Q]-[iP,iP])$
= $\[iP,Q]=-i[Q,P]=Id$

3) Exprimer Q et P en terme de $A$ et $A^+$ .
Réponse:

$A + A^+ =\sqrt{2}Q$ d'où $Q=\frac{A+A^+}{\sqrt{2}}$
et $P=\frac{A-A^+}{\sqrt{2}}$

4) On considère l'opérateur $H=\frac{1}{2}(P^2+Q^2)$

b) Exprimer H comme combinaison linéaire des opérateurs $N=AA^+$ et $Id$ . (Indication : On pourra utiliser le résultat de la question 2. Attention au fait que les opérateurs $A$ et $A^+$ ne commutent pas !)
Réponse :
D'après moi, $H=\frac{1}{2}(P^2+Q^2)=\frac{1}{2}(Q+iP)(Q-iP)=AA^+=N$
J'ai donc l'impression d'avoir terminer, mais je n'ai pas utiliser $Id$ et encore moins le résultat de la question 2), d'où le sentiment d'avoir fait une erreur..

c) On suppose $\psi \in \mathcal{H}$ avec $\psi \neq 0$ satisfait $A\psi =0$ . Montrer que $\psi$ est vecteur propre de l'opérateur $N+\frac{1}{2}Id$ avec une valeur propre que l'on spécifiera.
Réponse : Je bloque sur cette question, déjà car je ne suis pas sur de ma réponse précédente mais aussi car je ne sais pas trop par où commencer. Je sais que la valeur propre sera réelle car l'opérateur est hermitien et je peux donc écrire que $(N+\frac{1}{2}Id)\psi =\lambda \psi$ avec $\lambda$ la valeur propre. Mais je n'arrive pas à la trouver.

Voilà, c'est un peu long, je remercie donc d'avance la personne qui prendra le temps de me répondre.
SceintistH

Posté par re : Oscillateur harmonique en MQ 17-11-17 à 02:21

Hello ScientistH

Tu te "mélanges les pinceaux" ici: $P=\frac{A-A^{\dagger }}{\sqrt{2}}$

En effet:

Si   $A=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q+iP)$    et   $A + A^{\dagger } =\sqrt{2}Q$

Alors $A=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}(A + A^{\dagger })+iP)$

Donc   $\frac{1}{2}(A-A^{\dagger})=\frac{1}{\sqrt{2}}(iP)$

Et donc $P = \frac{i}{\sqrt{2}}(A^{\dagger}-A)$

Cela devrait te remettre en selle pour la suite
(après le $\bar{i} = -i$   de ton précédent msg, c'est ici le $\frac{1}{i}= -i$   , te voila vacciné avec les rappels sur $i$    )

A noter au passage que   $A^{\dagger } = \frac{2}{\sqrt{2}}Q-\frac{1}{\sqrt{2}}(Q+iP)=\frac{1}{\sqrt{2}} (Q-iP)$ ,  ça peut servir de l'avoir dans un coin

Posté par re : Oscillateur harmonique en MQ 17-11-17 à 12:14

Hello

Je reviens sur la question 3) pour laquelle j'ai ci dessus repris ton "cheminement" pour en pointer la "bête" erreur de calcul. En relisant l'énoncé dans son ensemble, une réponse "fluide" à cette question serait à mon sens:

Par définition: $A=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q+iP)    (1)$

Donc $A^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q^{\dagger}-iP^{\dagger})$

Or, P et Q sont hermitiens, donc $P^{\dagger}=P$ et $Q^{\dagger}=Q$

Donc   $A^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q-iP)   (2)$

$\frac{-i}{\sqrt{2}}\times (1)  + \frac{i}{\sqrt{2}}\times (2)$ conduisant à:   $P=\frac{i}{\sqrt{2}}(A^{\dagger}-A)$