Niveau école ingénieur

Oscillateur harmonique

Posté par
modjoris 20-11-19 à 22:49

Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour cet exercice car je ne sais pas si mon résonnement est le bon.
Ennoncé: On considère un mobile M assimilable à une masse ponctuelle m et pendu verticalement par
un ressort de raideur k et de longueur l0. Le champ de pesanteur est −→g = g
−→uz . L'origine du
référentiel est tout d'abord prise en O, point d'accroche du ressort au plafond. Le mouvement
reste vertical. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par la position z(t).
Ma démarche:
Bilan des forces:
P->=-mg-> porté par uz->
f->=kx(l-lzéro)porté par uz->
Projection :
ma=-mg+kz(z-lzéro)
Equation différentielle :
m((d²z/dt²)-g)-kz(z-lzéro)=0.
Est-ce que c'est juste ??
Merci d'avance

Posté par re : Oscillateur harmonique 20-11-19 à 23:12

Bonsoir
Tu précises bien que l'origine de ton axe vertical (O,z) est le point d'accroche du ressort au plafond mais tu ne précises pas le sens d'orientation de cet axe. Quand tu fais le bilan des forces, on croit comprendre que l'axe est orienté vers le haut. Ce choix est bien sûr possible mais pas très astucieux car alors la longueur du ressort à la date t est l = -z puisque z<0.
Il faudrait alors écrire :

$\overrightarrow{f}=k.\left(l-l_{o}\right).\overrightarrow{u_{z}}=k\left(-z-l_{o}\right).\overrightarrow{u_{z}}$
Si ce choix est imposé par l'énoncé, continue en tenant compte de ma remarque. Si l'énoncé n'impose pas le sens d'orientation de l'axe (O,z), tu as tout intérêt à orienter celui-ci vers le bas. Tu auras alors z= l et :

$\overrightarrow{f}=-k.\left(l-l_{o}\right).\overrightarrow{u_{z}}=-k\left(z-l_{o}\right).\overrightarrow{u_{z}} \\ \\ \overrightarrow{P}=m.g.\overrightarrow{u_{z}}$
Bien sûr, quel que soit le sens choisi, l'accélération s'écrit toujours :

$\overrightarrow{a}=\frac{d^{2}z}{dt^{2}}\cdot\overrightarrow{u_{z}}$

Posté par re : Oscillateur harmonique 20-11-19 à 23:27

Merci beaucoup, j'ai compris, je me suis fait un schéma avec un repère orthonormé, et je m'imaginais Z vers le haut c'est pour sa que j'ai fait ce choix. Effectivement c'est plus judicieux de faire l'inverse. Bonne soirée

Posté par re : Oscillateur harmonique 21-11-19 à 10:50

On peut aller encore plus loin dans le choix de notations simples. Si l'énoncé n'impose pas de choisir l'origine de l'axe au point d'accroche, tu peux le choisir à la position d'équilibre. Soit Z la cote à la date t avec ce nouveau choix. Tu peux alors écrire la longueur l du ressort à la date t sous la forme : l=l_e+Z où l_e est la longueur du ressort à l'équilibre vérifiant :
k(l_e - l_o)=mg
La force exercée par le ressort a maintenant pour expression :
$\overrightarrow{f}=-k.\left(l-l_{o}\right).\overrightarrow{u_{z}}=-k\left(Z+l_{e}-l_{o}\right).\overrightarrow{u_{z}}$
L'élongation Z vérifie alors une équation différentielle très simple car il y a simplification en tenant compte de la relation d'équilibre :

$m\cdot\dfrac{d^{2}Z}{dt^{2}}+k.Z=0$

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