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Oscillateur harmonique
Bonjour, je pense avoir compris la théorie mais je bloque sur quelques points sur la partie plus pratique ^^
Une masse m est fixée a l'extrémité d'un ressort de constante de raideur k et se déplace sans frottement sur un plan horizontal.
a. Ecrire l'equation du mouvement.
b. En supposant que la solution est de la forme xl(t) = Z exp(zt), trouver les valeurs de z qui satisfont l'equation. ´
c. A l'instant initial, la masse a une position initiale x0 et une vitesse initiale v0. Mettre la
solution sous la forme x(t) = A cos(ωt + φ) et trouver les valeurs de φ et de A en fonction
de x0 et v0. Verifiez que vous retrouvez bien les résultats attendus dans les cas simples ´
x0 = 0 ou v0 = 0.
a)
= ma
ma=-kx
je pose que k/m=
20 et que acceleration = x''
x'' + 20 x= 0
b) Bon la je ne sais pas si je ne comprends pas la question, ou si simplement je ne sais pas y répondre
c)
x(0) = A cos( φ) =0
x'(0)= A(-sin(φ). =0
A partir de la je ne sais pas trop comment faire pour determiner φ et A
Bonjour
Tout étudiant sortant de terminale sait bien que la solution de l'équation différentielle :
x"+o2.x=0 est de la forme générale :
x(t)= A.cos(o.t+
)
On obtient A et en tenant compte des deux conditions initiales :
valeur initiale de x et valeur initiale de x' la vitesse. (question c)
Pour b) l'énoncé demande semble-t-il la résolution générale de l'équation différentielle, méthode qui est habituellement réservée aux équations différentielles plus compliquée. La méthode consiste à rechercher les valeurs de z telles que x(t)=X.exp(z.t) avec X : constante.
Je te laisse démontrer que z est solution d'une équation, dite équation caractéristique :
z2+o2=0
Puisque o est un réel positif, l'équation caractéristiques admet deux solutions imaginaires conjuguées : z1=i.o et z2=-i.o. (i2=-1)
La solution générale de l'équation est :
x(t)=X1.exp(i.ot)+X2.exp(-i.ot)
Je te laisse démontrer que cela est équivalent à :
x(t)= A.cos(o.t+)
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