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Oscillateur harmonique

Posté par
Tin0u
12-06-19 à 16:39

Bonjour, je pense avoir compris la théorie mais je bloque sur quelques points sur la partie plus pratique ^^

Une masse m est fixée a l'extrémité d'un ressort de constante de raideur  k et se déplace sans frottement sur un plan horizontal.
a. Ecrire l'equation du mouvement.
b. En supposant que la solution est de la forme xl(t) = Z exp(zt), trouver les valeurs de z qui satisfont l'equation. ´
c. A l'instant initial, la masse a une position initiale x0 et une vitesse initiale v0. Mettre la
solution sous la forme x(t) = A cos(ωt + φ) et trouver les valeurs de φ et de A en fonction
de x0 et v0. Verifiez que vous retrouvez bien les résultats attendus dans les cas simples ´
x0 = 0 ou v0 = 0.


a)= ma
ma=-kx
je pose que k/m=20 et que acceleration = x''
x'' + 20 x= 0

b) Bon la je ne sais pas si je ne comprends pas la question, ou si simplement je ne sais pas y répondre

c)
x(0) = A cos( φ) =0
x'(0)= A(-sin(φ). =0

A partir de la je ne sais pas trop comment faire pour determiner φ et A

Posté par
vanoise
re : Oscillateur harmonique 12-06-19 à 18:57

Bonjour
Tout étudiant sortant de terminale sait bien que la solution de l'équation différentielle :
x"+o2.x=0 est de la forme générale :
x(t)= A.cos(o.t+)
On obtient A et en tenant compte des deux conditions initiales :
valeur initiale de x et valeur initiale de x' la vitesse. (question c)
Pour b) l'énoncé demande semble-t-il la résolution générale de l'équation différentielle, méthode qui est habituellement réservée aux équations différentielles plus compliquée. La méthode consiste à rechercher les valeurs de z telles que x(t)=X.exp(z.t) avec X : constante.
Je te laisse démontrer que z est solution d'une équation, dite équation caractéristique :
z2+o2=0
Puisque  o est un réel positif, l'équation caractéristiques admet deux solutions imaginaires conjuguées : z1=i.o et z2=-i.o. (i2=-1)
La solution générale de l'équation est :
x(t)=X1.exp(i.ot)+X2.exp(-i.ot)
Je te laisse démontrer que cela est équivalent à :
x(t)= A.cos(o.t+)

Posté par
Tin0u
re : Oscillateur harmonique 13-06-19 à 11:26

Bonjour, merci pour votre réponse je me sens vraiment bête ce matin, une fois la démarche expliqué j'ai compris que c'était tellement simple ^^

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