Niveau maths sup

oscillateur harmonique

Posté par
calounette17 05-09-15 à 16:27

Bonjour alors voilà j'ai cette consigne

Un oscillateur harmonique est constitué d'un ressort de constante de raideur k= 4.0 N.cm-1 et de longueur au repos I0= 10cm dont l'une des extrémités est fixe. L'autre extrémité est reliée à un objet ponctuel de masse m=300g qui peut glisser sans frottement le long d'un axe horizontal (O, i) dont l'origine O coincide avec l'extrémité fixe du ressort. On repère la position du solide par son abscisse x.

La première question est : On allonge le ressort d'une longueur a=10cm et on lache l'objet sans lui communiquer de vitesse à la date t=o déterminer une équation horaire du mouvement.

Donc j'ai obtenu un équation différentielle grace à la 2ème loi de Newton sous la forme y'' +ywo^[sup]2[/sup] = b

Donc la solution sera de la forme
x(t) = Acos(wot) + Bsin(wot) + b/wo²

Ma question est : est-ce que les conditions initiales sont bien celles-ci :

x(0) =10 et x''(0) = 0 car la vitesse est nulle à t=0 donc l'accélération aussi

Posté par re : oscillateur harmonique 05-09-15 à 16:39

Salut,

Si je comprends, tu veux utiliser les conditions :

x(0) = 10 en t'appuyant sur :

Citation :
de longueur au repos I0= 10cm dont l'une des extrémités est fixe (...) dont l'origine O coincide avec l'extrémité fixe du ressort

Ensuite, pourquoi ne pas dériver l'expression trouvée et d'utiliser x'(0) = 0 ?

Posté par re : oscillateur harmonique 05-09-15 à 16:46

Oui c'est ce que j'ai utilisé néanmoins j'ai du probablement me tromper car je trouve que A = o et B = -87, dois-je bien laissé en cm et la masse en g ?

Parce que j'ai utilisé x'(0) = 0
ainsi B x (k/m) + lo = 0, c'est bien cela ?

Posté par re : oscillateur harmonique 05-09-15 à 16:56

Bonjour,
Ce problème pose souvent des difficultés au niveau des notations...
Une suggestion :
poser :
x = l₀+y où y représente l'élongation, c'est à dire la variation algébrique de longueur du ressort.
Commence par trouver l'équation différentielle vérifiée par y ; détermine ensuite y = f(t) puis tu auras x en ajoutant l₀ au résultat.

Posté par re : oscillateur harmonique 05-09-15 à 16:58

mais nous n'avons pas appris comme ça en cours :/ j'aimerais pouvoir réussir à le faire avec la méthode enseignée

Posté par re : oscillateur harmonique 05-09-15 à 22:05

D'après ton énoncé :
$x(t=0) = 10$
$x'(t=0) = 0$

Dans ce genre de problème (oscillateur/ressort) il faut s'intéresser à la vitesse et la position à l'instant initiale $t=0$ .
Et pas à l'accélération...
Tu as trouvé $x(t)$ , dérive $x(t)$ par rapport à $t$ , tu auras $v(t) = x'(t)$ .
Ensuite, connaissant $x(t=0) = 10$ et $x'(t=0) = 0$ tu trouves tes constantes d'intégration A et B.

Mais de mon point de vue, et de celui de mon prof de Sup de l'an dernier, le plus simple est de faire la méthode donnée par Vanoise :

Tu poses l'origine du repère en $l_0$ , puis tu t'intéresse à la position $x$ définie par $x=l+l_0$

Après le PFD appliqué tu trouves :
$\ddot{x} + w_{0} ^2 x = 0$

Ce qui s'intègre par :
$x(t) = Acos(w_0t) + Bsin(w_0t)$
Ou par :
$x(t) = X cos(w_0t + \phi)$

Je préfère la première personnellement, mais continuons :
$x(t=0) = 10$
donc, d'après $x(t) A = 10$

On dérive x(t) :
$v(t)=x'(t)= -Aw_0 sin(w_0t) + Bw_0cos(w_0t)$
or
$v(t=0)=0$
donc :
$B = 0$

D'où :
$x(t) = 10 cos(w_0 t)$

Ensuite, si tu veux revenir à ton origine en O, tu peux toujours...