Niveau maths sup

Oscillateur harmonique

Posté par
Pixou 04-09-13 à 22:04

Bonjour nous avons fait un cours sur les oscillateur harmonique aujourd'hui et il y a quelques points que je ne comprend pas.

L'équation représentant la position de M, le mobile à un instant t est:

x(t)=x_m*cos(w₀*t+phi)

Je ne comprend pas que représente w₀, la pulsation propre de l'oscillateur que l'on peut trouver avec la constante de résistance du ressort et la masse du mobile.
Concrètement sur un dessin sa représente quoi ?
Et de même pour phi qui est la phase à l'origine..

Merci pour votre aide.
Cordialement.

Posté par re : Oscillateur harmonique 05-09-13 à 05:12

Bonjour!

Le mobile est soumis à la force de rappel du ressort   $-k.x$
La RFD te dit donc que   $m\frac{d^2x}{dt^2} + k.x = 0$

Cette équation différentielle du 2nd ordre a pour solution générale $x = \alpha.cos(\omega_0t) + \beta.sin(\omega_0t)$ où $\omega_0 =  \sqr{\frac{k}{m}}$

$\alpha$ et $\beta$ étant déterminés par les conditions initiales.

Tu peux également écrire $\alpha.cos(\omega_0t) + \beta.sin(\omega_0t)$ sous la forme $x_m.cos(\omega_0.t+\phi)$ avec $\alpha, \beta, x_m, \phi$ liés par les relations:

$\alpha = x_m.cos(\phi)$
$\beta = -x_m.sin(\phi)$

Et la encore, les conditions initiales te donnent $x_m$ et $\phi$

La fonction $x(t)$ est bien périodique de période $T = \frac{2\pi}{\omega_0}$

Sur un dessin ...

$x_m$ te serait donné par l'amplitude crête à crête par exemple
Et la avaleur de $x$ à $t=0$ te donne $\phi$ par la relation $x(t=0) = x_m.cos(\phi)$

Est ce plus clair ainsi?

Posté par re : Oscillateur harmonique 05-09-13 à 18:15

Tout d'abord merci pour la réponse!

C'est un peut plus claire oui.
Enfait ces données nous seront toujours données ou il faudra les retrouver avec d'autres données ?
Après on ne peut pas retrouver ces données sur un graphique comme on pourrait pour la période par exemple ?

Posté par re : Oscillateur harmonique 05-09-13 à 20:12

Hum hum

Je suis embarrassé par ta question car je ne suis pas sûr d'en comprendre le sens:

Sur un "graphique" du type $x = x(t)$

1) tu lis la période $T$ et donc $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$

2) tu mesures l'amplitude crête à crête $x_m = \frac{mesure}{2}$

3) tu lis la valeur $x_0$ de $x$ à $t = 0$

Tu as donc $\phi = Argcos\frac{x_0}{x_m}$

??? C'est l'effet rentrée? C'est moi?

Posté par re : Oscillateur harmonique 05-09-13 à 21:49

Ha oui vu comme sa c'est évidant !!
J'ai bien compris les calculs et comment retrouver ces valeurs.

Cependant j'ai du mal à me rendre compte de se qu'est oméga! La fréquence f, par exemple, est le nombre d'oscillation par unité de temps.
Mais Omega représente quoi (autre que par des formules) ?

Merci, bonne soirée

Posté par re : Oscillateur harmonique 05-09-13 à 23:26

Si la fréquence est le nombre de tours par seconde (ici 1 "tour" = 1 aller/retour du mobile) alors $\omega_0$ est le nombre de radians par seconde (i.e. $2\pi$ fois plus).

Posté par re : Oscillateur harmonique 05-09-13 à 23:40

D'accord, merci pour votre aide.

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