Niveau maths sup

Ondes stationnaires

Posté par
wakok 01-10-17 à 19:54

Bonjour,

Je souhaiterai obtenir quelques explications sur ce problème d'ondes stationnaires :

Une corde tendue et délimitée par les abscisses x=0 et x=L est excitée par un vibreur en x=0 de tel sorte que l'amplitude en x=0 est donnée par $z(t)=z_{0}sin(\omega t)$ .
L'onde stationnaire est de la forme : $y(x,t)=Asin(\omega t+\phi)sin(kx+\psi)$

J'ai donc déterminé les conditions aux limite suivantes :
$y(0,t) = z(t) = z_{0}sin(\omega t)$
et $y(L,t) = Asin(\omega t+\phi)sin(kL+\psi)=0$

Maintenant je dois déterminer les constantes $A$ , $\psi$ et $\phi$ . Et je ne sais pas trop comment faire car j'ai beaucoup d'inconnues ...
Je connais les réponses qui sont : $A = \frac{z_{0}}{sin(kL)}$ , $\psi = n\pi - kL$ ainsi que $\phi = 0$ mais j'aimerai une explication détaillée de l'établissement de ces résultats.
Merci beaucoup à celui qui pourra me la fournir !

Bonne soirée

Posté par re : Ondes stationnaires 01-10-17 à 20:49

Bonsoir
La condition y(L,t)=0 quel que soit t impose :

$\sin\left(k.L+\psi\right)=0\qquad soit\quad k.L+\psi=n.\pi\;avec\;n\in\mathbb{Z}$

Il faut aussi, quel que soit t, avoir

$z_{0}.\sin\left(\omega.t\right)=A.\sin\left(\psi\right).\sin\left(\omega.t+\phi\right)$

une solution possible est :

$\phi=0\quad et\quad z_{0}=A.\sin\left(\psi\right)$

soit
$\\ A=\frac{z_{0}}{\sin\left(k.L-n.\pi\right)}$

Si n est un nombre pair, on obtient le résultat de ton corrigé, sinon, il faut changer le signe.

Posté par re : Ondes stationnaires 01-10-17 à 20:56

D'accord je comprends merci !
Mais la condition $y(L,t) = 0$ pourrai aussi nous donner : $sin(\omega t +\phi) = 0$ soit : $\omega t +\phi = n\pi$ et $\phi = n\pi - \omega t$

Est-ce absurde ?

Posté par re : Ondes stationnaires 01-10-17 à 22:37

Mais cette condition doit être vérifiée quelle que soit la valeur de t et pas seulement à certaines dates particulières !

Posté par re : Ondes stationnaires 01-10-17 à 22:57

D'accord dit comme ça c'est évident ! Je vois trop la chose d'un point de vu mathématique et donc j'oublie d'ajouter la réalité physique ...
En tout cas merci beaucoup pour cette petite précision j'ai bien compris

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