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Ondes planes - deux sources

Posté par
ShawnSpenstar 29-04-21 à 11:31

Bonjour à tous,

une partie d'un exercice me pose quelques petits soucis et votre aide serait très appréciée pour me permettre de me débloquer :

"Deux sources S1 et S2, distantes de L = 10 m émettent chacune une onde plane, dont les fonctions d'onde sont y1 = 0,03 sin (t) et y2=0,01 sin (t). Les ondes émises aux deux sources se propagent l'une vers l'autre à la vitesse c = 1,5m/s.

Questions :
1. Comment s'écrivent y1 (x,t) et y2 (x,t) au point M situé à x = 6m de S1 et à L-x=4m de S2 ?
2. Quelle est l'amplitude totale (x,t) de l'onde en M à l'instant t ?

Mes réponses :
Je pars du principe que les sources sont sur un axe Ox qui va de  S1 vers  S2. Donc l'onde provenant de la source  S1 se propagera vers les x croissants et la source  S2 se propagera vers les x décroissants. Avec l'origine de cette axe au point  S1.

1.
y1 = 0,03 sin (t) = y1 (0,t) soit à l'origine de la source S1 . Au point x = 6 m de S1 , il s'est passé x/c avec c la célérité de l'onde. Donc, y1 (x,t) = 0,03 sin ((t-x/c). soit -x/c car l'onde se propage dans le sens des x croissants.

Pour y2, (qui se propage dans le sens x décroissants), j'ai au point x : t+(L-x)/c.
Donc y2=0,01 sin ((t+(L-x)/c)).

2.
Pour la question 2, je ne sais pas trop comment faire. j'imaginais que dans les sinus j'allais pouvoir obtenir la même chose pour les deux ondes avec le fait que le sinus est 2 périodique et ensuite calculer l'amplitude.

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance pour votre aide et vos conseils.

Excellente journée à tous !

Posté par
vanoisere : Ondes planes - deux sources 29-04-21 à 11:36

Bonjour
Pour la question 2 : tu es amené à additionner deux fonctions sinusoïdales de même fréquence mais d'amplitudes différentes. Selon le théorème de Fresnel : tu vas obtenir une fonction sinusoïdale de la même fréquence. Pour obtenir l'amplitude  : deux méthode possibles :
1° Utiliser les vecteurs de Fresnel ;
2° raisonner sur les complexes associés.
A toi de choisir en fonction de ce que tu as l'habitude de faire quand tu étudie un circuit en régime sinusoïdal.

Posté par
ShawnSpenstarre : Ondes planes - deux sources 29-04-21 à 11:41

Super merci pour ta réponse, je vais regarder ça.

Mes réponses à la question 1 te semble juste ?

Posté par
vanoisere : Ondes planes - deux sources 29-04-21 à 12:22

D'accord avec l'expression de y1(x,t). Pas d'accord avec ton expression de y2(x,t). Puisque l'onde numéro 2 se propage dans le sens négatif, l'expression de y2(x,t) est nécessairement de la forme :

y_{2(x,t)}=A_{2}.\sin\left(\omega.t+\frac{2\pi.x}{\lambda}+\varphi\right)

Tu obtiens le résultat correct en considérant que, au point M d'abscisse x, en présence de la seule onde n°2, le point M reproduit l'état de S2 avec un retard \tau=\frac{L-x}{c} ; l'état vibratoire en M à la date t, en présence de la seule onde n° 2 est donc l'état vibratoire en S2 à la date (t-) :

y_{2(x,t)}=A_{2}.\sin\left[\omega.\left(t-\tau\right)\right]=A_{2}.\sin\left(\omega.t+\frac{\omega.x}{c}-\frac{\omega.L}{c}\right)

Posté par
feralityre : Ondes planes - deux sources 05-05-21 à 23:27

Bonjour,

Je travaille sur le même exercice, donc je me permet de répondre sur ce topic pour ne pas faire un doublon.
Si je comprend bien, on a y_1 = y_1(0,t) = A_1.\sin(\pi t) et donc y_1(x,t) = A_1.\sin(\pi(t-\dfrac{x}{c})).

Mais je ne comprend pas pourquoi vous écrivez y_2 avec \omega, dans l'énoncé on a  y_2=0,01.\sin(\pi.t) donc ça devrait être
y_2(x,t)=A_2.\sin\left[\pi.\left(t-\tau\right)\right]=A_2.\sin\left(\pi.t+\frac{\pi.x}{c}-\frac{\pi.L}{c}\right)

Posté par
vanoisere : Ondes planes - deux sources 06-05-21 à 18:19

Bonjour ferality
J'ai simplement voulu donner plus de généralité à mon message en rappelant l'expression la plus générale du signal. Dans le cas particulier de cet exercice, tu as effectivement :

\omega=\pi\;rad/s

Posté par
feralityre : Ondes planes - deux sources 06-05-21 à 19:14

Bonjour vanoise,

D'accord merci pour l'explication. Une fois que l'on a y1 et y2, il faut les sommer, mais j'ai du mal à trouver la méthode sur internet
On a y = y_1 + y_2 = A_1.sin(\pi(t-x/c)) + A_2.sin(\pi(t+x/c-L/c)) et il faut trouver y = A.sin(???) mais je ne vois pas comment faire pour sommer les phases dans les sinus dans un seul sinus. Je pense que ça vient du fait que je ne connais pas la formule générale pour passer de y1=Acos(phase) ou y1=Asin(phase) à sa forme complexe et inversement facilement... Je ne trouve pas

Posté par
vanoisere : Ondes planes - deux sources 06-05-21 à 19:32

Théorème de Fresnel : la somme de deux fonction sinusoïdale de même pulsation est une fonction sinusoïdale de même pulsation. Pour obtenir quelque chose de général, tu peux rechercher l'expression de la somme y=y1+y2 avec :

y_{1}=A_{1}.\sin\left(\omega.t-\varphi_{1}\right)\quad avec\quad\varphi_{1}=\frac{\omega.x}{c}

y_{2}=A_{2}.\sin\left(\omega.t-\varphi_{2}\right)\quad avec\quad\varphi_{2}=\frac{\omega.L}{c}-\frac{\omega.x}{c} \\ \\ y=y_{1}+y_{2}=A.\sin\left(\omega.t-\varphi\right)

Reste à trouver A et en fonction de A1, A2, 1 et 2.

J'ai indiqué dans mon message du 29-04-21 à 11:36 les deux méthodes possibles. Je te laisse choisir en fonction de tes habitudes, notamment celles acquises lors de l'étude des circuits en régime sinusoïdal.

Posté par
feralityre : Ondes planes - deux sources 06-05-21 à 20:11

D'accord, je vais passer par les complexes car ça a l'air plus simple. Ce que je ne comprend pas c'est que de partout et par exemple ici (section 2.2.2) :

Ils ne parlent que d'ondes avec des "cos", donc l'onde "physique" est la partie réelle de la représentation complexe. Or ici on a une onde avec un "sin", donc il faudra prendre la partie imaginaire de la représentation complexe pour avoir l'onde physique ? Ca ne pose pas de problème ? Ou il faut sommer pi/2 à la phase à l'origine pour avoir un cos et non un sin ? Je ne pense pas car ça changerait l'onde...

y_{1}=A_{1}.\sin\left(\omega.t-\varphi_{1}\right) = A_{1}.e^{j\omega t}e^{-j\varphi_1}

y_1 = A_{1}.e^{j\omega t} avec l'amplitude complexe A_1 = e^{-j\varphi_1} ; est-ce la bonne représentation complexe pour y_1 ?

Posté par
vanoisere : Ondes planes - deux sources 06-05-21 à 21:05

La méthode consiste effectivement à associer à la grandeur sinusoïdale une grandeur complexe ayant pour module l'amplitude et pour argument la phase. Après simplification par e^{j\omega t} , cela conduit à :

A.e^{-j\varphi}=A_{1}.e^{-j\varphi_{1}}+A_{2}.e^{-j\varphi_{2}}

Petite astuce pour obtenir assez simplement A2 : le carré du module d'un complexe est égal au produit du complexe par son conjugué.

Posté par
feralityre : Ondes planes - deux sources 06-05-21 à 21:23

vanoise @ 06-05-2021 à 21:05

La méthode consiste effectivement à associer à la grandeur sinusoïdale une grandeur complexe ayant pour module l'amplitude et pour argument la phase. Après simplification par e^{j\omega t} , cela conduit à :

A.e^{-j\varphi}=A_{1}.e^{-j\varphi_{1}}+A_{2}.e^{-j\varphi_{2}}


D'accord merci c'est plus clair. Mais je ne comprend toujours pas la différence entre les ondes avec "cos" et celles avec "sin"... pour celles avec "co"s il faut prendre Re() et pour celles avec "sin" il faut prendre Im() pour avoir l'onde "physique" ou ce n'est pas ça ?

vanoise @ 06-05-2021 à 21:05


Petite astuce pour obtenir assez simplement A2 : le carré du module d'un complexe est égal au produit du complexe par son conjugué.


D'accord, mais je ne vois pas pourquoi on a besoin de trouver A²... c'est pour faire A = \sqrt{y.y*} avec y* le conjugué de y ?

Je pensais que la solution était finalement y = (A_{1}.e^{-j\varphi_{1}}+A_{2}.e^{-j\varphi_{2}})e^{j\omega t} et qu'on ne pouvait pas simplifier plus cette expression..

Posté par
vanoisere : Ondes planes - deux sources 06-05-21 à 23:04

Citation :
La méthode consiste effectivement à associer à la grandeur sinusoïdale une grandeur complexe ayant pour module l'amplitude et pour argument la phase

Tu as raison : on commence par faire les calculs avec les complexes associés aux grandeurs sinusoïdales puis on revient à la grandeur physique en prenant la partir réelle si la grandeur instantanée est en "cosinus"  ou en prenant la partie imaginaire si la grandeur instantanée est en "sinus". Dans les deux cas, il s'agit de déterminer les inconnues "A" et en fonction de A1, A2, 1 et 2.
Citation :
Je pensais que la solution était finalement y = (A_{1}.e^{-j\varphi_{1}}+A_{2}.e^{-j\varphi_{2}})e^{j\omega t} et qu'on ne pouvait pas simplifier plus cette expression..

Plutôt : y=\Im [(A_{1}.e^{-j\varphi_{1}}+A_{2}.e^{-j\varphi_{2}})e^{j\omega t}]
mais cette expression est difficile à exploiter pratiquement.
Pour obtenir l'amplitude A, il est plus rapide de calculer d'abord son carré puis de prendre ensuite la racine carrée. Pas d'ambiguïté de signe possible puisqu'une amplitude est toujours positive ou nulle. Par la méthode que je t'ai indiquée, je te laisse démontrer :

A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}.A_{2}.\cos\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)

Posté par
feralityre : Ondes planes - deux sources 07-05-21 à 19:58

Bonjour,

Je fais :
A^2 = (A_1.e^{-j\varphi_1} + A_2.e^{-j\varphi_2}).(A_1.e^{j\varphi_1} + A_2.e^{j\varphi_2})
= A_1^2 + A_2^2 + A_1A_2e^{j(\varphi_2-\varphi_1)}+A_1A_2e^{j(\varphi_1-\varphi_2)} \\ = A_1^2 + A_2^2 + A_1A_2e^{j(\varphi_2-\varphi_1)}+A_1A_2e^{-j(\varphi_2-\varphi_1)} \\ = A_1^2 + A_2^2 + A_1A_2(e^{j(\varphi_2-\varphi_1)} + e^{-j(\varphi_2-\varphi_1)})
=A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2cos(\varphi_2-\varphi_1)

Donc y = y_1 + y_2 = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2cos(\varphi_2-\varphi_1)}e^{j\omega t} Ou il faut simplifier encore ?

Posté par
vanoisere : Ondes planes - deux sources 07-05-21 à 20:10

y=y_{1}+y_{2}=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}cos(\varphi_{2}-\varphi_{1})}.\sin\left(\omega.t-\varphi\right)

Il te reste à trouver l'expression de ; l'expression dans ce cas général est assez compliquée et pratiquement de peu d'intérêt. Lors de l'étude de la superposition d'ondes, on s'intéresse surtout à l'amplitude de l'onde résultante.

Posté par
feralityre : Ondes planes - deux sources 07-05-21 à 20:34

D'accord par contre je ne vois pas du tout comment je peux calculer \varphi. Je pensais initialement appliquer la fonction "ln" sur A.e^{-j\varphi}=A_{1}.e^{-j\varphi_{1}}+A_{2}.e^{-j\varphi_{2}} mais en y réfléchissant ça ne donnera rien je pense car à droite on a une somme.

Je ne trouve nulle part une méthode claire pour additionner deux ondes progressives, je trouve ça étrange, cela devrait être présenté clairement dans un cours d'ondes et d'interférences.

Posté par
vanoisere : Ondes planes - deux sources 07-05-21 à 20:53

Identifier parties réelles et partie imaginaires dans la relation que tu viens de rappeler à 20h34 permet d'obtenir, le sinus, le cosinus et la tangente de . Ce n'est pas simple dans le cas général.
Que trouves-tu de "pas clair" dans la méthode que j'ai proposée ?

Posté par
feralityre : Ondes planes - deux sources 07-05-21 à 21:25

Je ne parle pas de ce que tu as proposé, je dis que la méthode n'est pas précisée dans mon cours et sur internet je n'ai pas trouvé de ressource qui explique comment faire ça. Enfin probablement je n'ai pas assez bien cherché.

En identifiant les parties réelles et imaginaires je trouve :
\varphi = \arccos\left(\dfrac{A_1\cos(\varphi_1)+A_2\cos(\varphi_2)}{A}\right)

\varphi = \arcsin\left(\dfrac{A_1\sin(\varphi_1)+A_2\sin(\varphi_2)}{A}\right)

Posté par
feralityre : Ondes planes - deux sources 07-05-21 à 21:33

Donc l'expression finale de y serait :

y=y_{1}+y_{2}=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}cos(\varphi_{2}-\varphi_{1})}.\sin\left(\omega.t - arccos\left(\dfrac{A_1\cos(\varphi_1)+A_2\cos(\varphi_2)}{A}\right) \right) ?

Posté par
vanoisere : Ondes planes - deux sources 07-05-21 à 22:38

D'accord avec tes expressions du sinus et du cosinus mais attention au passage du cosinus à l'arc cosinus si le sinus est négatif. Pour être plus général :

\varphi=\arctan\left(\dfrac{A_{1}.\sin\left(\varphi_{1}\right)+A_{2}.\sin\left(\varphi_{2}\right)}{A_{1}.\cos\left(\varphi_{1}\right)+A_{2}.\cos\left(\varphi_{2}\right)}\right) \;si : \;A_{1}.\cos\left(\varphi_{1}\right)+A_{2}.\cos\left(\varphi_{2}\right)\geq0

\varphi=\pi+\arctan\left(\dfrac{A_{1}.\sin\left(\varphi_{1}\right)+A_{2}.\sin\left(\varphi_{2}\right)}{A_{1}.\cos\left(\varphi_{1}\right)+A_{2}.\cos\left(\varphi_{2}\right)}\right) \;si : \;A_{1}.\cos\left(\varphi_{1}\right)+A_{2}.\cos\left(\varphi_{2}\right)<0

Rien de bien simple effectivement. Si tu as des problèmes avec ces formules, tu peux consulter la fiche suivante, paragraphe 1.2.4 pages 3 et 4 :


Lors de l'étude des interférences, on s'intéresse essentiellement à l'intensité en un point (ou à l'éclairement en un point en optique ondulatoire). Cette grandeur étant proportionnelle au carré de l'amplitude de l'onde. La formule démontrée concernant A2 est en général retenue sous cette forme :

I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}.I_{2}}.\cos\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)

Cette formule se trouve dans la plupart des cours d'optique ondulatoire...


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