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Ondes longitudinales dans un ressort
Bonjour,
j'ai un exercice à préparer pour mon TD d'ondes. Voici l'énoncé :
On considère un ressort à spires non jointives de longueur L, de masse linéique
et de raideur k. Ce ressort, est supporté horizontalement, est fixé à sont extrémité O. On découpe par la pensée, le ressort en N tranches de longueurs 
, tel que L=N.
On considère une spire d'abscisse x au repos. Elle subit à l'instant t un petit déplacement s(x,t) sous l'effet d'une tension F(x,t), due à la propagation d'une perturbation de proche en proche le long du ressort. En considérant une tranche située en x au repos, de longueur
, déterminer la force de tension subie par la tranche, due à ses proches voisines. (s(x,t)<)
En utilisant le PDF, écrire l'équation aux dérivées partielles, et retrouver la vitesse de l'onde.
CE QUE J'AI FAIT :
J'arrive à montrer que que la raideur d'une tranche est :
Ensuite, je n'arrive pas à caractériser cette force. Chaque tranche est tirée par la gauche,et par la tension d'elle même...Je trouve donc une équation :
C'est le première fois que je suis face à un tel problème, c'est pour ça que je ne sais pas comme "m'imaginer" les forces en présences.
Et après, comment retrouver l'équation des ondes de d'Alembert ?
Merci beaucoup pour votre aide !
bonjour,
En considérant une tranche située en x au repos, de longueur , déterminer la force de tension subie par la tranche, due à ses proches voisines
e: longueur d'une tranche
k': raideur d'une tranche, ek' = kL
partie statique:
A l'équilibre on a la situation suivante: (cf dessin)
F = k'( s(x+e) - s(x) ) = k' ( s(x) + e
s/x - s(x) )
F = k'e
s/x
F = kL
s/x
En utilisant le PDF, écrire l'équation aux dérivées partielles, et retrouver la vitesse de l'onde.
partie dynamique: (2e dessin)
si la tranche est en mouvement, F n'est plus constante,
F = F(x,t) = kL
s/x
et la loi fondamentale donne:
m x"G = F(x+e,t) - F(x,t) = e
F/x = kLe 2 s/x2
avec m =
e
je te laisse montrer que xG
x + s(x,t)
donc x"G =
2 s/t2
tu retombes donc sur l'équation d'onde
Bonjour !
Merci beaucoup pour votre réponse claire. Sans vous, je n'aurais jamais compris comment modéliser le problème.
Cependant, j'ai encore une dernière question, je ne vois pas pourquoi nous avons dans l'expression de F ? C'est un DL à l'ordre 1 de s(x,t) autour de
?
Merci encore pour votre clarté, bon dimanche à vous.
C'est un DL à l'ordre 1 de s(x,t) autour de x ?
oui, normalement on considère une tranche infinitésimale (e = dx)
donc on écrit
F = k'( s(x+dx) - s(x) )
et comme: s(x+dx) = s(x) +
s/x dx
on trouve bien une loi du genre: F(x,t) = C
s/x
avec s = s(x,t) et C=cste
Bonjour,
je ne sais pas si ce sujet est encore d'actualité mais j'ai une petite question.
Je ne vois pas vraiment pourquoi la tension exercée par la partie droite du ressort sur notre petit élément de ressort n'est pas donné par
F=-k*(allongement du ressort entre x et L)
= -k*((L-x-s(x+dx,t))-(L-x)) = k*s(x+dx,t)
Merci a bientot !
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