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Onde sphérique homogène et isotrope... Calcul du laplacien

Posté par
God 22-12-13 à 00:49

Bonjour,

Pourquoi, dans le cas d'une telle onde qui ne dépend que de la norme de $\vec{r}$ , a-t-on $\Delta u=\frac{1}{r}\frac{d²(ru(r,t))}{dr²}$ ??
À chaque fois cette formule est recrachée, suivie d'un "donc ru vérifie l'équation de d'Alembert", mais... en quel honneur ?

$\Delta u=\frac{1}{c²}\frac{d²(u(r,t))}{dt²}$ mais $\frac{1}{c²}\frac{d²(u(r,t))}{dt²} \neq \frac{1}{r}\frac{d²(ru(r,t))}{dr²}$

On a $u(r,t)=f(t-\frac{r}{c})$ (on suppose que l'onde se propage dans le sens des x croissants)

$\frac{dru(r,t)}{dr}=\frac{-r}{c}f'(t-\frac{r}{c})+f(t-\frac{r}{c})$
$\frac{d²ru(r,t)}{dr²}=\frac{r}{c²}f''(t-\frac{r}{c})-\frac{2}{c}f'(t-\frac{r}{c})$

$\frac{dru(r,t)}{dt}=rf'(t-\frac{r}{c})$
$\frac{d²ru(r,t)}{dt²}=rf''(t-\frac{r}{c})$

$=>\frac{1}{r}\frac{d²(ru(r,t))}{dr²}=\frac{1}{r}\frac{r}{c²}f''(t-\frac{r}{c})-\frac{1}{r}\frac{2}{c}f'(t-\frac{r}{c})=\frac{1}{c²}\frac{d²u(r,t)}{dt²}-\frac{2}{rc}\frac{du(r,t)}{dt} \neq \frac{1}{c²}\frac{d²(u(r,t))}{dt²}$

Une idée svp ? Merci...

Posté par re : Onde sphérique homogène et isotrope... Calcul du laplacien 22-12-13 à 13:06

bonjour,

si u = u(r,t) le laplacien se simplifie en sphériques:
u = ²u/r² +2/r u/r

par ailleurs on a:
²(ru) /r² = r( ²u/r² + 2/r u/r )

donc on trouve bien :

u = 1/r ²(ru)/r²

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