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Nombre de Mach
Bonsoir,
J'ai une question à propos du nombre de Mach. Il est défini dans le sujet de physique de Polytechnique MP 2018 intitulée " étude du dispositif de propulsion du lanceur Ariane 5 " comme le rapport de la vitesse de la vitesse du gaz ( il y'a une chambre de combustion où est produit un gaz qui cause la propulsion en sortant d'un tuyère et on considère que l'écoulement dans la tuyère est stationnaire ) sur la vitesse du son notée c dans la tuyère : ( les variables sont considérées ne dépendant que de x ). On trouve que le nombre de Mach à l'entée est <1 et ils appellent ca écoulement subsonique. A la question 9. on établit une relation dite de Hugoniot qui stipule que :
où A(x) est l'aire de la section à l'abscisse x. Après on nous demande de choisir quelle est la tuyère non convenable( J'attache l'extrait qui présente les 3 géométries des tuyères ). Et c'est la tuyère divergente qui n'est pas convenable car la vitesse diminue jusqu'à la sortie. Par contre pour la 3ème tuyère dite de Laval, elle est convergente au début ( et vu que le nombre de Mach à l'entre est <1 alors la vitesse va augmenter ) puis à une certaine abscisse xc ( "c" pour col ) elle devient divergente, ce qui fait que la vitesse va dépendre du nombre de Mach juste après le col. Et je pense que les cas qui doivent être traités c'est si le nombre de Mach au col ( qu'on va noter Mc ) est <1 ou égal à 1.
S'il est <1 alors après le col la vitesse va diminuer. Mais si à un certain moment il redevient >1 ? Car on a pas une loi exacte de la célérité du son pour savoir comment va évoluer M.
De même, s'il est égal à 1, alors juste après le col, si M>1 alors la vitesse va augmenter mais si M<1 alors la vitesse va diminuer. Mais la même question se pose, et si M change sa valeur par rapport à 1 à une certaine abscisse ?
Est-ce qu'on doit faire semblant que M est monotone ?
J'espère que vous pourrez m'aider afin d'avancer dans ce sujet et avoir une compréhension basique des moteurs de fusées.
Merci d'avance.
Actuellement en déplacement, je n'ai qu'un téléphone pour répondre. Tu sais bien sûr que pour un gaz assimilé à un gaz parfait, c est proportionnel à la racine carrée de T. Sachant que le gaz subit une détente adiabatique, P et T sont 2 fonctions monotones décroissantes de X. Il est facile alors de montrer que M est fonction monotone croissante de X. Pour que la tuyère soit constamment acceleratrice, dA doit être du signe de M2-1 ,ce qui suppose une tuyère d'abord convergente puis divergente. Au col, dA=0 donc M=1.
Bonjour,
J'ai saisi votre raisonnement, mais rien dans l'énoncé ne signale que le gaz subit une détente adiabatique pour pouvoir conclure que P et T sont des fonctions décroissantes de X. Est-ce qu'on devait le comprendre à travers la géométrie des tuyères ? Par exemple celle de Laval le volume diminue puis augmente...
Merci d'avance
L'expression de dA/A se démontre en faisant un certain nombre d'hypothèses simplificatrices. Parmi celles ci :
gaz d'échappement assimilé à un gaz parfait,
Écoulement correspondant à une détente isentropique.
Bonsoir
Je reprends toutes les hypothès utilisées dans le sujet : les gazs sont parfaits, écoulement unidirectionnel et unidimensionnel, évolution du gaz le long de la tuyère est adiabatique et réversible, l'écoulement est stationnaire, la gravité est négligée.
Mais je ne vois pas pourquoi le gaz subirait une détente et non une compression. Ou les deux selon la partie dans laquelle se trouve le gaz.
Merci d'avance.
L'entrée de la tuyère correspond à la chambre de combustion où température et pression sont très élevées alors que la sortie correspond à l'air libre. ..
Autre argument possible : un gaz peut se détendre spontanément dans une simple canalisation. Une compression demande l'usage d'un compresseur et consomme de l'énergie. N'oublie pas que la tuyère est destinée à transformer de l'énergie interne acquise dans la chambre de combustion en énergie cinétique macroscopique pour assurer la propulsion par réaction.
Bonsoir,
Merci beaucoup pour votre réponse. Une dernière question s'il vous plait : grâce aux lois de Laplace on peut montrer que dans le cas d'une détente P et T sont des fonctions décroissantes de X. Et c est proportionnelle à la racine carrée de T. Mais je ne vois pas de lien entre la vitesse , P et T pour conclure que le nombre de Mach sera croissant en fonction de X. Les deux idées qui me viennent à l'esprit sont l'utilisation du théorème d'équipartition de l'énergie mais il donne que la moyenne quadratique de la vitesse proportionnelle à T et ce n'est pas ce qu'on veut. Sinon utiliser le débit qui est constant mais dans ce cas on obtient une relation qui contient A.
Merci d'avance.
En fonction de x :
Si T diminue, l'enthalpie massique diminue cf loi de Joule ;
Si h diminue, la vitesse d'écoulement augmente cf Bernouilli.
M=v/c :
Si v augmente en fonction de x et que c diminue en fonction de x, inutile de calculer une dérivée : M ne peut qu'augmenter en fonction de x.
Je vois. Merci beaucoup pour votre réponse. En fait le sujet est destiné à la filière MP donc tout ce qui est mécanique des fluides est supposé inconnu. Même dans les meilleurs corrigés ils travaillent avec M fonction croissante de x sans justifier comment. Je ne sais pas si le candidat devait avoir l'intuition que le nombre de Mach ne devait qu'augmenter en fonction de x ou pas.
Merci beaucoup pour votre aide.
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