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[MQ] Energies propres, particule dans un puits de potentiel 1D

Posté par
Mescherin 17-12-20 à 12:21

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide concernant un exercice de physique quantique s'il vous plait.
C'est tout bête mais ça me bloque...

On se trouve dans le cas basique d'un puits de potentiel suivant :
V(x) = 0,       $-a\leq  x \leq  a$
v(x) = $+ \infty$ ,       $x<-a, x>a$

J'ai trouvé les solutions $\varphi (x)$ de l'équation de Schrodinger pour les 3 régions du potentiel, jusque là pas de souci je crois. Pour la zone   $-a\leq  x \leq  a$   je trouve donc : $\frac{d^2\varphi (x)}{dx^2} +k^2\varphi (x) = 0  \;  avec  \;  k^2 = \frac{2mE}{\displaystyle \hbar^2}$ >0

Ce qui implique que $\varphi (x) = Acos(kx) + Bsin(kx)$

Mon problème est le suivant : je ne trouve pas les bonnes énergies propres associées...

Pour le cas pair je trouve $E_{n} = \frac{\displaystyle \hbar^2 \pi ^2}{8ma^²} (2n+1)^2$
Mon raisonnement est le suivant :
Je considère les conditions de continuité, je déduis que :

$k= (2n+1)\frac{\pi }{2a}$
$k = (2n+1)\frac{\pi }{2a} = \frac{\sqrt{\ 2mE_{n}}}{\displaystyle \hbar}$
$\Rightarrow E_{n} = \frac{\displaystyle \hbar^2 \pi ^2}{8ma^2}(2n+1)^2 \:  avec \,  n = 1,2,3...$

Ensuite, pour le cas impair, je trouve :

$k = \frac{n\pi }{a} = \frac{\sqrt{\ 2mE_{n}}}{\displaystyle \hbar}$
$\Rightarrow E_{n} = \frac{n^2\pi ^2\displaystyle \hbar^2}{2a^2m}$

Le problème est que dans la correction de cet exercice, les énergies propres sont respectivement pour le cas pair et le cas impair :

$E_{n} = \frac{\displaystyle \hbar^2 \pi ^2}{8ma^²} (2n+1)^2$   et   $E_{n} = (2n)^2 \frac{\displaystyle \hbar^2 \pi ^2}{8ma^2}$

Le cas pair semble correct mais mon raisonnement est-il bon ?
Quant au cas impair je ne comprends ce qui ne va pas et surtout d'où sort ce 8 et ce $2^2$ ?

Merci d'avance

Posté par re : [MQ] Energies propres, particule dans un puits de potentiel 17-12-20 à 12:29

Bonjour
Ce problème est abondamment traité sur le net, ici par exemple :

Posté par re : [MQ] Energies propres, particule dans un puits de potentiel 17-12-20 à 13:20

Bonjour,

Sinon pour ce qui est de vos calculs, votre expression est la même que celle du corrigé (il suffit de multiplier haut et bas par 4=2² et il se trouve que 2x4=8.

Ensuite pourquoi distinguer pair et impair : il y a une expression unique que cela soit pour k ou pour E.

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